Ejercicio resuelto de Física relativista · Física · 2020

Una nave espacial mide $50\ \text{m}$ de longitud para un observador en reposo respecto de ella. La nave parte de la Tierra hacia el planeta Marte. Los habitantes de una colonia de dicho planeta dijeron que la nave medía $49{,}9\ \text{m}$ cuando pasó por delante de ellos. ¿A qué velocidad viajaba la nave respecto de los habitantes de la colonia situada en Marte?

Dato: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

La nave se mueve respecto de los habitantes de la colonia, de modo que estos miden una longitud contraída: es la contracción de la longitud de la relatividad especial.

$L = L_0\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}$

donde $L_0 = 50\ \text{m}$ es la longitud propia, la que se mide con la nave en reposo, y $L = 49{,}9\ \text{m}$ la que miden desde Marte.

Se despeja la velocidad:

$\dfrac{L}{L_0} = \sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}} \;\Rightarrow\; \dfrac{v^2}{c^2} = 1 - \left(\dfrac{L}{L_0}\right)^2$

$\dfrac{v}{c} = \sqrt{1 - \left(\dfrac{49{,}9}{50}\right)^2} = \sqrt{1 - 0{,}9960} = 6{,}32\cdot10^{-2}$

$v = 6{,}32\cdot10^{-2}\cdot3\cdot10^{8} = 1{,}90\cdot10^{7}\ \text{m/s}$

La nave viajaba a $1{,}90\cdot10^{7}\ \text{m/s}$, algo más del $6\%$ de la velocidad de la luz. Una contracción de apenas $10\ \text{cm}$ en $50\ \text{m}$ exige ya una velocidad de diecinueve mil kilómetros por segundo: por eso los efectos relativistas son inapreciables en la vida cotidiana.