Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Islas Canarias · 2020

Una onda transversal se propaga por una cuerda en el sentido positivo del eje $X$, con una longitud de onda de $2\ \text{m}$, una frecuencia de $10\ \text{Hz}$, una amplitud de $5\ \text{cm}$ y una fase inicial de $\pi\ \text{rad}$. Calcule:

a) El periodo, la frecuencia angular y el número de onda. Escriba la ecuación de la onda.

b) La velocidad de propagación de la onda así como la velocidad con la que vibra, en el instante $t = 0{,}10\ \text{s}$, un punto de la cuerda situado en $x = 20\ \text{cm}$.

c) La distancia entre dos puntos de la cuerda cuya diferencia de fase, en un determinado instante, es $\pi/6\ \text{rad}$.

$\textbf{a) El periodo, la frecuencia angular y el número de onda. Escriba la ecuación de la onda.}$

De los datos del enunciado:

$T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{10} = 0{,}1\ \text{s}$

$\omega = 2\pi f = 20\pi\ \text{rad/s}$

$k = \dfrac{2\pi}{\lambda} = \dfrac{2\pi}{2} = \pi\ \text{rad/m}$

Como la onda se propaga en el sentido positivo del eje $X$ y la fase inicial es $\pi\ \text{rad}$, en unidades del Sistema Internacional:

$y(x,t) = 0{,}05\,\text{sen}(20\pi t - \pi x + \pi)\ \text{m}$

$\textbf{b) La velocidad de propagación de la onda así como la velocidad con la que vibra, en el instante } \boldsymbol{t = 0{,}10\ \text{s}}\textbf{, un punto de la cuerda situado en } \boldsymbol{x = 20\ \text{cm}}\textbf{.}$

La velocidad de propagación es:

$v = \lambda\,f = 2\cdot10 = 20\ \text{m/s}$

La velocidad de vibración es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

$v_y = \dfrac{\partial y}{\partial t} = 0{,}05\cdot20\pi\cos(20\pi t - \pi x + \pi) = \pi\cos(20\pi t - \pi x + \pi)$

Sustituyendo $x = 0{,}20\ \text{m}$ y $t = 0{,}10\ \text{s}$, con el argumento en radianes:

$20\pi\cdot0{,}10 - \pi\cdot0{,}20 + \pi = 2\pi - 0{,}2\pi + \pi = 2{,}8\pi = 8{,}80\ \text{rad}$

$v_y = \pi\cos(8{,}80) = -2{,}54\ \text{m/s}$

El signo negativo indica que en ese instante el punto se mueve hacia abajo.

$\textbf{c) La distancia entre dos puntos de la cuerda cuya diferencia de fase, en un determinado instante, es } \boldsymbol{\pi/6\ \text{rad}}\textbf{.}$

Para un instante fijo, la diferencia de fase depende solo de la separación:

$\Delta\varphi = k\,\Delta x \;\Rightarrow\; \Delta x = \dfrac{\Delta\varphi}{k} = \dfrac{\pi/6}{\pi} = 0{,}167\ \text{m}$