Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

Considere un objeto no identificado de $100\text{ kg}$ de masa que se mueve hacia el centro de un planeta de masa $M$ y radio $R$, bajo la acción del campo gravitatorio del planeta. Determine:



a) La energía cinética y potencial del objeto cuando está a una altura de $100\text{ km}$ sobre la superficie del planeta y con una velocidad de $6000\text{ m/s}$.

b) La altura desde la que empezó a caer este objeto, medida respecto de la superficie del planeta. Considere que partió desde el reposo.

c) La velocidad con la que impacta el objeto en la superficie del planeta.

Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2{\text{kg}}^{-2}$; $M=6\cdot {10}^{24}\text{ kg}$; $R=6500\text{ km}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cin}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">100</mn><mtext> km</mtext></mrow>}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">6000</mn><mtext> m/s</mtext></mrow>}\mathbf{\text{.}}$










La distancia al centro del planeta en ese punto es:

$r=R+h=\mathrm{6,5}\cdot {10}^6+{10}^5=\mathrm{6,6}\cdot {10}^6\text{ m}$

La energía cinética es la habitual y la potencial gravitatoria vale $E_p=-G{\displaystyle \frac{Mm}{r}}$.





$E_c={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 100\cdot {6000}^2=\mathrm{1,80}\cdot {10}^9\text{ J}$

$E_p=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}\cdot 100}{\mathrm{6,6}\cdot {10}^6}}=-\mathrm{6,06}\cdot {10}^9\text{ J}$

La energía mecánica total, que se conserva durante toda la caída, es:

$E=E_c+E_p=\mathrm{1,80}\cdot {10}^9-\mathrm{6,06}\cdot {10}^9=-\mathrm{4,26}\cdot {10}^9\text{ J}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{empez}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{caer}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{objeto,}}\mathbf{\text{medida}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta.}}\mathbf{\text{Considere}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{parti}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{reposo.}}$

Como el campo gravitatorio es conservativo, la energía mecánica en el punto de partida es la misma. Allí la velocidad era nula, de modo que toda la energía era potencial:

$E=-G{\displaystyle \frac{Mm}{r_0}}\Rightarrow r_0=-{\displaystyle \frac{GMm}{E}}$

$r_0=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}\cdot 100}{-\mathrm{4,26}\cdot {10}^9}}=\mathrm{9,39}\cdot {10}^6\text{ m}$

$h_0=r_0-R=\mathrm{9,39}\cdot {10}^6-\mathrm{6,5}\cdot {10}^6=\mathrm{2,89}\cdot {10}^6\text{ m}$

El objeto empezó a caer desde unos $2890\text{ km}$ sobre la superficie.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{impacta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta.}}$

Se vuelve a imponer la conservación de la energía mecánica, ahora en la superficie:

$E={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_f^2-G{\displaystyle \frac{Mm}{R}}$

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_f^2=E+G{\displaystyle \frac{Mm}{R}}=-\mathrm{4,26}\cdot {10}^9+\mathrm{6,16}\cdot {10}^9=\mathrm{1,89}\cdot {10}^9\text{ J}$

$v_f=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{1,89}\cdot {10}^9}{100}}}=\mathrm{6,15}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

El objeto impacta a unos $\mathrm{6,15}\text{ km/s}$, apenas un $3\mathrm{\%}$ más deprisa que a $100\text{ km}$ de altura: en esos últimos cien kilómetros el campo gravitatorio ya casi no varía.