Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

Defina campo gravitatorio. Se sabe que la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra vale $g_T = 9{,}81\ \text{m}\,\text{s}^{-2}$, y que la relación entre las masas y los radios de la Tierra y el planeta $X$ es $M_X = 0{,}02\,M_T$ y $R_X = 0{,}3\,R_T$. Determine $g_X$, es decir, la aceleración de la gravedad en la superficie del planeta $X$.

Se llama campo gravitatorio a la perturbación que una masa produce en el espacio que la rodea, de modo que cualquier otra masa colocada en él experimenta una fuerza atractiva. Se describe mediante el vector intensidad de campo gravitatorio, que es la fuerza por unidad de masa:

$\vec g = \dfrac{\vec F}{m} = -G\dfrac{M}{r^2}\,\vec u_r$

Su módulo en la superficie de un astro coincide con la aceleración de la gravedad allí:

$g = G\dfrac{M}{R^2}$

Para comparar los dos planetas se escribe esa expresión en cada uno y se dividen:

$\dfrac{g_X}{g_T} = \dfrac{G\dfrac{M_X}{R_X^2}}{G\dfrac{M_T}{R_T^2}} = \dfrac{M_X}{M_T}\cdot\left(\dfrac{R_T}{R_X}\right)^2$

La constante de gravitación se simplifica, de modo que basta con las relaciones que da el enunciado:

$\dfrac{g_X}{g_T} = 0{,}02\cdot\left(\dfrac{1}{0{,}3}\right)^2 = \dfrac{0{,}02}{0{,}09} = 0{,}222$

$g_X = 0{,}222\cdot9{,}81 = 2{,}18\ \text{m/s}^2$

La gravedad en la superficie del planeta $X$ es de $2{,}18\ \text{m/s}^2$, algo menos de la cuarta parte de la terrestre. Aunque su masa es cincuenta veces menor, su radio también lo es, y como el radio interviene al cuadrado el efecto se compensa en buena medida.