Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2020

Considere dos cargas colocadas sobre dos vértices de un cuadrado de lado $2\ \text{m}$ (ver figura). Calcule:



a) El vector intensidad de campo eléctrico en el punto $P$.

b) El vector fuerza electrostática que ejerce la carga de $-2\ \mu\text{C}$ sobre la carga de $+2\ \mu\text{C}$, así como la energía potencial electrostática de estas dos cargas.

c) El trabajo realizado por el campo eléctrico para llevar una carga de $1\ \mu\text{C}$ desde el infinito hasta el punto $P$.

Datos: $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{C}^{-2}$.

$\textbf{a) El vector intensidad de campo eléctrico en el punto } \boldsymbol{P}\textbf{.}$










Se toman los ejes con el origen en la carga positiva. Según la figura del enunciado, el cuadrado tiene $2\ \text{m}$ de lado:

$q_1(0,0)\qquad q_2(2,0)\qquad P(2,2)$

Las distancias desde $P$ son:

$r_1 = |(2,2)| = 2\sqrt2 = 2{,}83\ \text{m}\qquad r_2 = 2\ \text{m}$





La carga $q_1$ es positiva, así que su campo se aleja de ella, según el unitario $\frac{1}{2\sqrt2}(2,2)$:

$E_1 = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{2\cdot10^{-6}}{8} = 2{,}25\cdot10^{3}\ \text{N/C}$

$\vec E_1 = 2{,}25\cdot10^{3}\left(\dfrac{\sqrt2}{2},\dfrac{\sqrt2}{2}\right) = (1{,}59\cdot10^{3},\ 1{,}59\cdot10^{3})\ \text{N/C}$

La carga $q_2$ es negativa, así que su campo apunta hacia ella, en el sentido negativo del eje $Y$:

$E_2 = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{2\cdot10^{-6}}{4} = 4{,}50\cdot10^{3}\ \text{N/C}$

$\vec E_2 = (0,\ -4{,}50\cdot10^{3})\ \text{N/C}$

Por el principio de superposición:

$\vec E_P = (1{,}59\cdot10^{3},\ -2{,}91\cdot10^{3})\ \text{N/C}$

$|\vec E_P| = \sqrt{(1{,}59\cdot10^{3})^2 + (2{,}91\cdot10^{3})^2} = 3{,}32\cdot10^{3}\ \text{N/C}$

$\textbf{b) El vector fuerza electrostática que ejerce la carga de } \boldsymbol{-2\ \mu\text{C}}\textbf{ sobre la carga de } \boldsymbol{+2\ \mu\text{C}}\textbf{, así como la energía potencial electrostática de estas dos cargas.}$

Las dos cargas están separadas $2\ \text{m}$. Aplicando la ley de Coulomb:

$F = K\dfrac{|q_1\,q_2|}{r^2} = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{(2\cdot10^{-6})^2}{2^2} = 9{,}0\cdot10^{-3}\ \text{N}$

Como las cargas son de signos contrarios la fuerza es atractiva, es decir, va de la carga positiva hacia la negativa, en el sentido positivo del eje $X$:

$\vec F = (9{,}0\cdot10^{-3},\ 0)\ \text{N}$

La energía potencial electrostática del par de cargas es:

$E_p = K\dfrac{q_1\,q_2}{r} = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{2\cdot10^{-6}\cdot(-2\cdot10^{-6})}{2} = -1{,}8\cdot10^{-2}\ \text{J}$

Es negativa, como corresponde a dos cargas de signos contrarios: el sistema está ligado y harían falta $1{,}8\cdot10^{-2}\ \text{J}$ para separarlas indefinidamente.

$\textbf{c) El trabajo realizado por el campo eléctrico para llevar una carga de } \boldsymbol{1\ \mu\text{C}}\textbf{ desde el infinito hasta el punto } \boldsymbol{P}\textbf{.}$

El potencial en $P$ es:

$V_P = 9\cdot10^{9}\left(\dfrac{2\cdot10^{-6}}{2{,}83} - \dfrac{2\cdot10^{-6}}{2}\right) = -2{,}64\cdot10^{3}\ \text{V}$

Como el campo electrostático es conservativo y en el infinito el potencial es nulo:

$W_{\infty\to P} = q\,(V_\infty - V_P) = 10^{-6}\cdot\left(0 - (-2{,}64\cdot10^{3})\right)$

$W_{\infty\to P} = 2{,}64\cdot10^{-3}\ \text{J}$

El trabajo es positivo, luego lo realiza el propio campo: una carga positiva es atraída espontáneamente hacia $P$, que está a potencial negativo.