Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2020

Dos partículas con cargas de $+1\ \mu\text{C}$ y de $-1\ \mu\text{C}$ están situadas en los puntos del plano $XY$ de coordenadas $(-1,0)$ y $(1,0)$, respectivamente. Sabiendo que las coordenadas están expresadas en metros, calcule:

a) El vector campo eléctrico en el punto $(0,3)$.

b) El potencial eléctrico en los puntos $(1,1)$ y $(3,3)$.

c) El trabajo realizado por el campo para llevar una carga de $+1\ \text{C}$ desde el punto $(1,1)$ al $(3,3)$.

Dato: $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{C}^{-2}$.

$\textbf{a) El vector campo eléctrico en el punto } \boldsymbol{(0,3)}\textbf{.}$










El campo creado por una carga puntual es $\vec E = K\dfrac{q}{r^2}\,\vec u_r$.

Por simetría las dos cargas están a la misma distancia del punto:

$r = |(1,3)| = \sqrt{10} = 3{,}16\ \text{m}$





El módulo del campo creado por cada una es el mismo:

$E = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{10^{-6}}{10} = 9{,}0\cdot10^{2}\ \text{N/C}$

El campo de la carga positiva, situada en $(-1,0)$, se aleja de ella según el unitario $\frac{1}{\sqrt{10}}(1,3)$; el de la negativa, situada en $(1,0)$, apunta hacia ella según $\frac{1}{\sqrt{10}}(1,-3)$.

Al sumarlos, las componentes verticales se cancelan y solo queda la horizontal:

$\vec E = \left(2\cdot9{,}0\cdot10^{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{10}},\ 0\right) = (5{,}69\cdot10^{2},\ 0)\ \text{N/C}$

El campo va dirigido de la carga positiva hacia la negativa, con módulo $5{,}69\cdot10^{2}\ \text{N/C}$.

$\textbf{b) El potencial eléctrico en los puntos } \boldsymbol{(1,1)}\textbf{ y } \boldsymbol{(3,3)}\textbf{.}$

El potencial es escalar y se suman los de las dos cargas con su signo.

En $(1,1)$ las distancias son $\sqrt{(1+1)^2+1^2} = \sqrt5 = 2{,}24\ \text{m}$ a la positiva y $1\ \text{m}$ a la negativa:

$V_1 = 9\cdot10^{9}\left(\dfrac{10^{-6}}{2{,}24} - \dfrac{10^{-6}}{1}\right) = -4{,}98\cdot10^{3}\ \text{V}$

En $(3,3)$ las distancias son $\sqrt{4^2+3^2} = 5\ \text{m}$ y $\sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13} = 3{,}61\ \text{m}$:

$V_2 = 9\cdot10^{9}\left(\dfrac{10^{-6}}{5} - \dfrac{10^{-6}}{3{,}61}\right) = -6{,}96\cdot10^{2}\ \text{V}$

$\textbf{c) El trabajo realizado por el campo para llevar una carga de } \boldsymbol{+1\ \text{C}}\textbf{ desde el punto } \boldsymbol{(1,1)}\textbf{ al } \boldsymbol{(3,3)}\textbf{.}$

Como el campo electrostático es conservativo:

$W = q\,(V_1 - V_2) = 1\cdot(-4{,}98\cdot10^{3} + 6{,}96\cdot10^{2})$

$W = -4{,}28\cdot10^{3}\ \text{J}$

El trabajo del campo es negativo porque la carga positiva se lleva hacia un punto de mayor potencial: hay que empujarla, y son fuerzas externas las que realizan un trabajo de $+4{,}28\cdot10^{3}\ \text{J}$.