Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

Calcule la velocidad con que ha de ser lanzado un satélite para colocarlo en órbita circular alrededor de la Tierra a una altura de su superficie igual al radio de ésta.

Datos: $M_T = 5{,}98\cdot10^{24}\ \text{kg}$; $R_T = 6370\ \text{km}$; $G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}$.

La altura sobre la superficie es igual al radio terrestre, de modo que el radio de la órbita, medido desde el centro de la Tierra, es:

$r = R_T + h = 2R_T$

El problema tiene dos fases: i) obtener la velocidad orbital y ii) imponer la conservación de la energía mecánica entre la superficie y la órbita.





i) En la órbita la fuerza gravitatoria es la centrípeta:

$G\dfrac{M_T\,m}{r^2} = \dfrac{m\,v_{\text{orb}}^2}{r} \;\Rightarrow\; v_{\text{orb}}^2 = \dfrac{G\,M_T}{2R_T}$

ii) Como el campo gravitatorio es conservativo:

$\dfrac12\,m\,v^2 - G\dfrac{M_T\,m}{R_T} = \dfrac12\,m\,v_{\text{orb}}^2 - G\dfrac{M_T\,m}{2R_T}$

Sustituyendo la velocidad orbital y simplificando la masa del satélite:

$\dfrac12\,v^2 = \dfrac{G\,M_T}{R_T} - \dfrac{G\,M_T}{2R_T} + \dfrac{G\,M_T}{4R_T} = \dfrac34\,\dfrac{G\,M_T}{R_T}$

$v = \sqrt{\dfrac{3\,G\,M_T}{2\,R_T}}$

Sustituyendo los datos, con $R_T = 6370\ \text{km} = 6{,}37\cdot10^{6}\ \text{m}$:

$v = \sqrt{\dfrac{3\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}}{2\cdot6{,}37\cdot10^{6}}} = 9{,}69\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

Hay que lanzarlo a $9{,}69\ \text{km/s}$, velocidad que no depende de la masa del satélite y que es menor que la de escape, $11{,}2\ \text{km/s}$, como corresponde a un cuerpo que queda ligado a la Tierra.