Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Islas Canarias · 2021

Una onda de amplitud $10\ \text{cm}$ se propaga en el sentido positivo del eje $x$ con una velocidad de propagación de $4\ \text{m/s}$ y un periodo de $0{,}4\ \text{s}$. En el instante inicial tiene una elongación de $4\ \text{cm}$ para $x = 0$. Calcule:

a) La fase inicial de la onda. ¿Cuál es la ecuación de la onda?

b) La diferencia de fase, para un instante dado, entre los puntos $x = 0\ \text{m}$ y $x = 4\ \text{m}$.

c) La velocidad transversal de un punto situado en $x = 4\ \text{m}$ en el instante $t = 5\ \text{s}$.

$\textbf{a) La fase inicial de la onda. ¿Cuál es la ecuación de la onda?}$

Se calculan primero las constantes de la onda:

$\lambda = v\,T = 4\cdot0{,}4 = 1{,}6\ \text{m}$

$\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{0{,}4} = 5\pi\ \text{rad/s}$

$k = \dfrac{2\pi}{\lambda} = \dfrac{2\pi}{1{,}6} = 1{,}25\pi\ \text{rad/m}$

Como la onda avanza en el sentido positivo del eje $X$:

$y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t - kx + \varphi_0)$

La fase inicial se obtiene imponiendo que en $t = 0$ y $x = 0$ la elongación sea $4\ \text{cm}$:

$0{,}04 = 0{,}1\,\text{sen}\,\varphi_0 \;\Rightarrow\; \text{sen}\,\varphi_0 = 0{,}4$

$\varphi_0 = \arcsin(0{,}4) = 0{,}412\ \text{rad}$

Por tanto, en unidades del Sistema Internacional:

$y(x,t) = 0{,}1\,\text{sen}(5\pi t - 1{,}25\pi x + 0{,}412)\ \text{m}$

$\textbf{b) La diferencia de fase, para un instante dado, entre los puntos } \boldsymbol{x = 0\ \text{m}}\textbf{ y } \boldsymbol{x = 4\ \text{m}}\textbf{.}$

Para un instante fijo, la fase solo depende de la posición:

$\Delta\varphi = k\,\Delta x = 1{,}25\pi\cdot4 = 5\pi\ \text{rad} = 15{,}7\ \text{rad}$

Como $5\pi = 4\pi + \pi$, la diferencia equivale a $\pi\ \text{rad}$: los dos puntos están en oposición de fase, lo que era previsible porque entre ellos caben dos longitudes de onda y media.

$\textbf{c) La velocidad transversal de un punto situado en } \boldsymbol{x = 4\ \text{m}}\textbf{ en el instante } \boldsymbol{t = 5\ \text{s}}\textbf{.}$

La velocidad transversal es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

$v_y = \dfrac{\partial y}{\partial t} = 0{,}1\cdot5\pi\cos(5\pi t - 1{,}25\pi x + 0{,}412)$

Sustituyendo, con el argumento en radianes:

$5\pi\cdot5 - 1{,}25\pi\cdot4 + 0{,}412 = 25\pi - 5\pi + 0{,}412 = 20\pi + 0{,}412$

$v_y = 0{,}5\pi\cos(20\pi + 0{,}412) = 0{,}5\pi\cdot0{,}917 = 1{,}44\ \text{m/s}$