Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Islas Canarias · 2021

Por una cuerda se propaga una onda cuya ecuación es $y(x,t) = 2\,\text{sen}(x + 6t)$, donde $x$ e $y$ vienen expresadas en metros y $t$ en segundos.

a) Calcule la longitud de onda, el periodo y la velocidad con que se propaga.

b) Calcule la velocidad transversal de un punto situado en $x = 4\ \text{m}$ en el instante $t = 5\ \text{s}$, así como la velocidad máxima de un punto de la cuerda.

c) Represente gráficamente, para un punto de la cuerda situado en $x = 2\ \text{cm}$, la elongación y la velocidad en función del tiempo.

$\textbf{a) Calcule la longitud de onda, el periodo y la velocidad con que se propaga.}$

Se compara la ecuación del enunciado con la general de una onda armónica:

$y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t + kx)$

$y(x,t) = 2\,\text{sen}(x + 6t)$

Identificando términos:

$A = 2\ \text{m}\qquad \omega = 6\ \text{rad/s}\qquad k = 1\ \text{rad/m}$

Como los términos en $t$ y en $x$ llevan el mismo signo, la onda se propaga en el sentido negativo del eje $X$.

$\lambda = \dfrac{2\pi}{k} = 2\pi = 6{,}28\ \text{m}$

$T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{6} = 1{,}05\ \text{s}$

$v = \dfrac{\omega}{k} = \dfrac{6}{1} = 6\ \text{m/s}$

$\textbf{b) Calcule la velocidad transversal de un punto situado en } \boldsymbol{x = 4\ \text{m}}\textbf{ en el instante } \boldsymbol{t = 5\ \text{s}}\textbf{, así como la velocidad máxima de un punto de la cuerda.}$

La velocidad transversal es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

$v_y = \dfrac{\partial y}{\partial t} = 2\cdot6\cos(x + 6t) = 12\cos(x + 6t)$

Sustituyendo $x = 4\ \text{m}$ y $t = 5\ \text{s}$, con el argumento en radianes:

$v_y = 12\cos(4 + 30) = 12\cos(34) = -10{,}2\ \text{m/s}$

El signo negativo indica que en ese instante el punto se mueve hacia abajo.

La velocidad máxima se alcanza cuando el coseno vale la unidad:

$v_{y,\max} = A\,\omega = 2\cdot6 = 12\ \text{m/s}$

$\textbf{c) Represente gráficamente, para un punto de la cuerda situado en } \boldsymbol{x = 2\ \text{cm}}\textbf{, la elongación y la velocidad en función del tiempo.}$

Para $x = 2\ \text{cm} = 0{,}02\ \text{m}$ las dos funciones son:

$y(t) = 2\,\text{sen}(0{,}02 + 6t)\ \text{m}$

$v_y(t) = 12\cos(0{,}02 + 6t)\ \text{m/s}$

Ambas son sinusoides del mismo periodo, $T = 1{,}05\ \text{s}$, desfasadas $\pi/2$: la velocidad es máxima cuando la elongación se anula y viceversa. En la gráfica la velocidad se ha dibujado dividida entre seis para que quepan las dos curvas en la misma escala.