Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2021

Un electrón entra con una velocidad $\vec{v} = 5\times10^{4}\,\vec{i}$ (m/s) en una región del espacio donde hay un campo magnético uniforme $\vec{B} = -2{,}5\,\vec{j}$ (T). Para el instante de entrada, determine:

a) La fuerza que ejerce el campo magnético sobre el electrón y el vector aceleración.

b) La energía cinética.

c) El radio de la trayectoria que describe el electrón al moverse en interior del campo. Dibuje la trayectoria, el vector campo magnético, así como su velocidad y aceleración en un punto arbitrario de la trayectoria.

Datos: $q_e = -1{,}6\times10^{-19}\ \text{C}$; $m_e = 9{,}11\times10^{-31}\ \text{kg}$.

$\textbf{a) La fuerza que ejerce el campo magnético sobre el electrón y el vector aceleración.}$

La fuerza magnética sobre una carga en movimiento es:

$\vec F = q\,(\vec v\times\vec B)$

Se desarrolla el producto vectorial:

$\vec v\times\vec B = \begin{vmatrix} \vec\imath & \vec\jmath & \vec k \\ 5\cdot10^{4} & 0 & 0 \\ 0 & -2{,}5 & 0 \end{vmatrix} = -1{,}25\cdot10^{5}\,\vec k$

Y se multiplica por la carga del electrón, que es negativa:

$\vec F = -1{,}6\cdot10^{-19}\cdot(-1{,}25\cdot10^{5})\,\vec k = 2{,}0\cdot10^{-14}\,\vec k\ \text{N}$

La aceleración se obtiene de la segunda ley de Newton:

$\vec a = \dfrac{\vec F}{m_e} = \dfrac{2{,}0\cdot10^{-14}}{9{,}11\cdot10^{-31}}\,\vec k = 2{,}20\cdot10^{16}\,\vec k\ \text{m/s}^2$

$\textbf{b) La energía cinética.}$

La fuerza magnética es perpendicular a la velocidad en todo instante, de modo que no realiza trabajo y el módulo de la velocidad no cambia:

$E_c = \dfrac12\,m_e\,v^2 = \dfrac12\cdot9{,}11\cdot10^{-31}\cdot(5\cdot10^{4})^2 = 1{,}14\cdot10^{-21}\ \text{J}$

$\textbf{c) El radio de la trayectoria que describe el electrón al moverse en interior del campo. Dibuje la trayectoria, el vector campo magnético, así como su velocidad y aceleración en un punto arbitrario de la trayectoria.}$










Al ser la fuerza perpendicular a la velocidad, hace de fuerza centrípeta:

$|q_e|\,v\,B = \dfrac{m_e\,v^2}{r} \;\Rightarrow\; r = \dfrac{m_e\,v}{|q_e|\,B}$





$r = \dfrac{9{,}11\cdot10^{-31}\cdot5\cdot10^{4}}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot2{,}5} = 1{,}14\cdot10^{-7}\ \text{m}$

La trayectoria es una circunferencia contenida en el plano perpendicular al campo. En cada punto la velocidad es tangente a ella, y la aceleración, igual que la fuerza, apunta hacia el centro.