Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2021

Dos cargas eléctricas puntuales de $4\ \mu\text{C}$ y $-2\ \mu\text{C}$ se encuentran situadas en los puntos $(1,0)$ y $(0,2)$, respectivamente, donde las coordenadas $x$ e $y$ de dichos puntos vienen dadas en metros. Calcule:

a) El potencial eléctrico en el punto $(2,1)$.

b) El vector intensidad de campo electrostático en el punto $(0,0)$.

c) El trabajo necesario para llevar una carga de $-1\ \text{C}$ desde el punto $(0,0)$ al $(2,1)$. Explique el significado del signo del trabajo.

Dato: $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{C}^{-2}$.

$\textbf{a) El potencial eléctrico en el punto } \boldsymbol{(2,1)}\textbf{.}$










El potencial es escalar y se suman los de las dos cargas con su signo:

$V = K\sum\dfrac{q_i}{r_i}$

Las distancias desde $P(2,1)$ son:

$r_1 = |(1,1)| = \sqrt2 = 1{,}41\ \text{m}$

$r_2 = |(2,-1)| = \sqrt5 = 2{,}24\ \text{m}$





$V_P = 9\cdot10^{9}\left(\dfrac{4\cdot10^{-6}}{1{,}41} - \dfrac{2\cdot10^{-6}}{2{,}24}\right) = 1{,}74\cdot10^{4}\ \text{V}$

$\textbf{b) El vector intensidad de campo electrostático en el punto } \boldsymbol{(0,0)}\textbf{.}$

Las distancias desde el origen son $1\ \text{m}$ a la carga positiva y $2\ \text{m}$ a la negativa.

La carga de $(1,0)$ es positiva, de modo que su campo se aleja de ella, en el sentido negativo del eje $X$:

$E_1 = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{4\cdot10^{-6}}{1^2} = 3{,}6\cdot10^{4}\ \text{N/C}$

La carga de $(0,2)$ es negativa, de modo que su campo apunta hacia ella, en el sentido positivo del eje $Y$:

$E_2 = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{2\cdot10^{-6}}{2^2} = 4{,}5\cdot10^{3}\ \text{N/C}$

Por el principio de superposición:

$\vec E_O = (-3{,}6\cdot10^{4},\ 4{,}5\cdot10^{3})\ \text{N/C}$

$|\vec E_O| = \sqrt{(3{,}6\cdot10^{4})^2 + (4{,}5\cdot10^{3})^2} = 3{,}63\cdot10^{4}\ \text{N/C}$

$\textbf{c) El trabajo necesario para llevar una carga de } \boldsymbol{-1\ \text{C}}\textbf{ desde el punto } \boldsymbol{(0,0)}\textbf{ al } \boldsymbol{(2,1)}\textbf{. Explique el significado del signo del trabajo.}$

Hace falta el potencial en el origen:

$V_O = 9\cdot10^{9}\left(\dfrac{4\cdot10^{-6}}{1} - \dfrac{2\cdot10^{-6}}{2}\right) = 2{,}70\cdot10^{4}\ \text{V}$

Como el campo electrostático es conservativo:

$W_{\text{campo}} = q\,(V_O - V_P) = -1\cdot(2{,}70\cdot10^{4} - 1{,}74\cdot10^{4})$

$W_{\text{campo}} = -9{,}59\cdot10^{3}\ \text{J}$

El signo negativo significa que el campo se opone al desplazamiento: una carga negativa tiende espontáneamente hacia los puntos de mayor potencial, y aquí se la lleva hacia uno de menor potencial. Por tanto, el trabajo necesario, el que debe realizar un agente externo, es el mismo con el signo cambiado:

$W_{\text{ext}} = +9{,}59\cdot10^{3}\ \text{J}$