Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

Tres masas puntuales se encuentran distribuidas como indica la figura. Calcule:



a) El vector intensidad de campo gravitatorio en el punto $P_1$.

b) El potencial gravitatorio en el punto $P_2$.

c) El trabajo necesario para llevar una masa de $5\ \text{kg}$ desde el punto $P_1$ al $P_2$.

Datos: $G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}$; $m_1 = m_2 = 100\ \text{kg}$; $m_3 = 50\ \text{kg}$.

$\textbf{a) El vector intensidad de campo gravitatorio en el punto } \boldsymbol{P_1}\textbf{. (1 punto)}$










Se toman los ejes con el origen en $m_2$. Según la figura del enunciado, el cuadrado tiene $2\ \text{m}$ de lado y $m_1$ está en el punto medio del lado superior:

$m_1(1,2)\quad m_2(0,0)\quad m_3(2,0)$

$P_1(0,2)\quad P_2(2,2)$

El campo gravitatorio de una masa puntual, $\vec g = -G\dfrac{m}{r^2}\vec u_r$, siempre apunta hacia ella.





Distancias desde $P_1(0,2)$: $r_1 = 1\ \text{m}$, $r_2 = 2\ \text{m}$ y $r_3 = \sqrt{2^2+2^2} = 2\sqrt2 = 2{,}83\ \text{m}$.

Campo de $m_1$, dirigido hacia ella, en el sentido positivo del eje $X$:

$g_1 = \dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot100}{1^2} = 6{,}67\cdot10^{-9}\ \text{N/kg}$

Campo de $m_2$, dirigido hacia abajo:

$g_2 = \dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot100}{2^2} = 1{,}67\cdot10^{-9}\ \text{N/kg}$

Campo de $m_3$, dirigido hacia $m_3$ según el unitario $\frac{1}{2\sqrt2}(2,-2)$:

$g_3 = \dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot50}{8} = 4{,}17\cdot10^{-10}\ \text{N/kg}$

$\vec g_3 = (2{,}95\cdot10^{-10},\ -2{,}95\cdot10^{-10})\ \text{N/kg}$

Por el principio de superposición:

$\vec g_{P_1} = (6{,}96\cdot10^{-9},\ -1{,}96\cdot10^{-9})\ \text{N/kg}$

$|\vec g_{P_1}| = 7{,}24\cdot10^{-9}\ \text{N/kg}$

$\textbf{b) El potencial gravitatorio en el punto } \boldsymbol{P_2}\textbf{. (1 punto)}$

El potencial es escalar y se suman los de las tres masas. Las distancias desde $P_2(2,2)$ son $1\ \text{m}$ a $m_1$, $2\sqrt2 = 2{,}83\ \text{m}$ a $m_2$ y $2\ \text{m}$ a $m_3$:

$V_{P_2} = -G\left(\dfrac{100}{1} + \dfrac{100}{2{,}83} + \dfrac{50}{2}\right)$

$V_{P_2} = -6{,}67\cdot10^{-11}\cdot160{,}4 = -1{,}07\cdot10^{-8}\ \text{J/kg}$

$\textbf{c) El trabajo necesario para llevar una masa de } \boldsymbol{5\ \text{kg}}\textbf{ desde el punto } \boldsymbol{P_1}\textbf{ al } \boldsymbol{P_2}\textbf{. (1 punto)}$

Hace falta también el potencial en $P_1$, donde las distancias son $1\ \text{m}$, $2\ \text{m}$ y $2{,}83\ \text{m}$:

$V_{P_1} = -6{,}67\cdot10^{-11}\left(\dfrac{100}{1} + \dfrac{100}{2} + \dfrac{50}{2{,}83}\right) = -1{,}12\cdot10^{-8}\ \text{J/kg}$

Como el campo gravitatorio es conservativo, el trabajo que realiza es:

$W_{\text{campo}} = m\,(V_{P_1} - V_{P_2}) = 5\cdot(-1{,}12\cdot10^{-8} + 1{,}07\cdot10^{-8})$

$W_{\text{campo}} = -2{,}44\cdot10^{-9}\ \text{J}$

El trabajo del campo es negativo, de modo que el trabajo necesario, el que debe realizar un agente externo, es el mismo con el signo cambiado:

$W_{\text{ext}} = +2{,}44\cdot10^{-9}\ \text{J}$