Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2021

En qué consiste la hipótesis de De Broglie. Calcule la longitud de onda asociada con una pelota de tenis de $60\ \text{g}$ de masa que se mueve a una velocidad de $200\ \text{km/h}$, y la de un electrón que se mueve a la misma velocidad.

Datos: $h = 6{,}626\cdot10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}$; $m_e = 9{,}109\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

La hipótesis de De Broglie establece que toda partícula material en movimiento lleva asociada una onda cuya longitud de onda es inversamente proporcional a su momento lineal:

$\lambda = \dfrac{h}{p} = \dfrac{h}{m\,v}$

Con ella De Broglie extendió a la materia la dualidad onda-corpúsculo que ya se aceptaba para la luz, y su predicción se confirmó al observar experimentalmente la difracción de haces de electrones en cristales.

Se expresa primero la velocidad en unidades del Sistema Internacional:

$v = 200\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}\cdot\dfrac{1000\ \text{m}}{3600\ \text{s}} = 55{,}6\ \text{m/s}$

Para la pelota de tenis, con la masa en kilogramos, $m = 60\ \text{g} = 0{,}06\ \text{kg}$:

$\lambda_{\text{tenis}} = \dfrac{6{,}626\cdot10^{-34}}{0{,}06\cdot55{,}6} = 1{,}99\cdot10^{-34}\ \text{m}$

Para el electrón:

$\lambda_e = \dfrac{6{,}626\cdot10^{-34}}{9{,}109\cdot10^{-31}\cdot55{,}6} = 1{,}31\cdot10^{-5}\ \text{m}$

La diferencia es de veintinueve órdenes de magnitud y se debe solo a la diferencia de masas, porque la velocidad es la misma. La longitud de onda del electrón, del orden de la centésima de milímetro, es perfectamente observable; la de la pelota de tenis, en cambio, es billones de veces menor que un núcleo atómico, de modo que no existe ningún obstáculo con el que pueda difractarse y la pelota se comporta siempre como una partícula clásica.