Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Islas Canarias · 2021

Un objeto de $2{,}5\ \text{cm}$ de alto está situado a $0{,}75\ \text{cm}$ de una lente. La imagen formada es de $4\ \text{cm}$ de alto.

a) ¿A qué distancia de la lente se forma la imagen del objeto?

b) ¿Cuánto valen la distancia focal y la potencia de la lente? ¿Se trata de una lente convergente o divergente? Razone su respuesta.

c) Dibuje el trazado de rayos y determine la posición a la que debe situarse el objeto, respecto de la lente, para que su imagen se forme en el infinito.

$\textbf{a) ¿A qué distancia de la lente se forma la imagen del objeto?}$

El enunciado no dice si la imagen es derecha o invertida, y las dos posibilidades son compatibles con los datos. Se desarrolla el caso de imagen derecha, que es el habitual en este tipo de enunciados, y al final se dan los resultados del otro.

El aumento lateral relaciona los tamaños con las distancias:

$\beta = \dfrac{y'}{y} = \dfrac{4}{2{,}5} = 1{,}6$

$\beta = \dfrac{s'}{s} \;\Rightarrow\; s' = 1{,}6\,s = 1{,}6\cdot(-0{,}75) = -1{,}2\ \text{cm}$

La imagen se forma a $1{,}2\ \text{cm}$ de la lente, del mismo lado que el objeto; al ser $s' < 0$ es una imagen virtual.

$\textbf{b) ¿Cuánto valen la distancia focal y la potencia de la lente? ¿Se trata de una lente convergente o divergente? Razone su respuesta.}$

Aplicando la ecuación de las lentes delgadas:

$\dfrac{1}{f'} = \dfrac{1}{s'} - \dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{-1{,}2} - \dfrac{1}{-0{,}75} = -0{,}833 + 1{,}333 = 0{,}5\ \text{cm}^{-1}$

$f' = 2\ \text{cm} = 0{,}02\ \text{m}$

$P = \dfrac{1}{f'} = \dfrac{1}{0{,}02} = 50\ \text{D}$

La distancia focal imagen es positiva, luego la lente es convergente. Además, el objeto está a $0{,}75\ \text{cm}$, más cerca de la lente que el foco objeto, que está a $2\ \text{cm}$: esa es exactamente la disposición de la lupa, y por eso la imagen sale virtual, derecha y mayor.

Si la imagen fuese invertida, el aumento valdría $\beta = -1{,}6$ y se obtendría $s' = 1{,}2\ \text{cm}$ y $f' = 0{,}46\ \text{cm}$; la lente seguiría siendo convergente, pero la imagen sería real.

$\textbf{c) Dibuje el trazado de rayos y determine la posición a la que debe situarse el objeto, respecto de la lente, para que su imagen se forme en el infinito.}$



Que la imagen se forme en el infinito significa hacer $s' \to \infty$, es decir, $\dfrac{1}{s'} \to 0$:

$0 - \dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{f'} \;\Rightarrow\; s = -f' = -2\ \text{cm}$

Hay que colocar el objeto justo en el foco objeto, a $2\ \text{cm}$ de la lente. Los rayos emergen entonces paralelos entre sí y no vuelven a cortarse a distancia finita.