Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

En la superficie de un planeta de $2000\ \text{km}$ de radio la aceleración de la gravedad es de $4\ \text{m}\,\text{s}^{-2}$. A una altura de $6\cdot10^{4}\ \text{km}$ sobre la superficie del planeta se mueve, en una órbita circular, un satélite con una masa de $500\ \text{kg}$. Calcule:

a) La masa del planeta.

b) La velocidad del satélite en la órbita.

c) La energía total del satélite a dicha altura.

Datos: $G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}$.

$\textbf{a) La masa del planeta.}$










La aceleración de la gravedad en la superficie coincide con la intensidad del campo gravitatorio:

$g = G\dfrac{M}{R^2} \;\Rightarrow\; M = \dfrac{g\,R^2}{G}$





Con el radio en unidades del Sistema Internacional, $R = 2000\ \text{km} = 2\cdot10^{6}\ \text{m}$:

$M = \dfrac{4\cdot(2\cdot10^{6})^2}{6{,}67\cdot10^{-11}} = 2{,}40\cdot10^{23}\ \text{kg}$

$\textbf{b) La velocidad del satélite en la órbita.}$

El radio de la órbita se mide desde el centro del planeta:

$r = R + h = 2\cdot10^{6} + 6\cdot10^{7} = 6{,}2\cdot10^{7}\ \text{m}$

En la órbita la fuerza gravitatoria es la centrípeta:

$v = \sqrt{\dfrac{G\,M}{r}} = \sqrt{\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot2{,}40\cdot10^{23}}{6{,}2\cdot10^{7}}} = 5{,}08\cdot10^{2}\ \text{m/s}$

$\textbf{c) La energía total del satélite a dicha altura.}$

En una órbita circular la energía total es la mitad de la energía potencial:

$E = -\dfrac{G\,M\,m}{2r} = -\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot2{,}40\cdot10^{23}\cdot500}{2\cdot6{,}2\cdot10^{7}}$

$E = -6{,}45\cdot10^{7}\ \text{J}$

La energía total es negativa, como corresponde a un satélite ligado al planeta: harían falta $6{,}45\cdot10^{7}\ \text{J}$ para llevarlo desde su órbita hasta el infinito con velocidad nula.