Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Islas Canarias · 2021

Una onda armónica senoidal transversal se propaga en sentido positivo del eje $X$ con una frecuencia de $10\ \text{Hz}$, una velocidad de propagación de $20\ \text{m/s}$, una amplitud de $5\ \text{cm}$ y una fase inicial nula. Determine:

a) La ecuación de la onda.

b) La velocidad de vibración de un punto situado en $x = 20\ \text{cm}$ en el instante $t = 0{,}25\ \text{s}$.

c) La distancia entre dos puntos cuya diferencia de fase, en un determinado instante, es $\pi/4\ \text{rad}$.

$\textbf{a) La ecuación de la onda.}$

Se calculan las constantes de la onda a partir de los datos:

$\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot10 = 20\pi\ \text{rad/s}$

$\lambda = \dfrac{v}{f} = \dfrac{20}{10} = 2\ \text{m}$

$k = \dfrac{2\pi}{\lambda} = \dfrac{2\pi}{2} = \pi\ \text{rad/m}$

Como la onda se propaga en el sentido positivo del eje $X$ y la fase inicial es nula, en unidades del Sistema Internacional:

$y(x,t) = 0{,}05\,\text{sen}(20\pi t - \pi x)\ \text{m}$

$\textbf{b) La velocidad de vibración de un punto situado en } \boldsymbol{x = 20\ \text{cm}}\textbf{ en el instante } \boldsymbol{t = 0{,}25\ \text{s}}\textbf{.}$

La velocidad de vibración es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

$v_y = \dfrac{\partial y}{\partial t} = 0{,}05\cdot20\pi\cos(20\pi t - \pi x) = \pi\cos(20\pi t - \pi x)$

Sustituyendo $x = 0{,}20\ \text{m}$ y $t = 0{,}25\ \text{s}$, con el argumento en radianes:

$20\pi\cdot0{,}25 - \pi\cdot0{,}20 = 5\pi - 0{,}2\pi = 4{,}8\pi = 15{,}08\ \text{rad}$

$v_y = \pi\cos(15{,}08) = -2{,}54\ \text{m/s}$

El signo negativo indica que en ese instante el punto se mueve hacia abajo.

$\textbf{c) La distancia entre dos puntos cuya diferencia de fase, en un determinado instante, es } \boldsymbol{\pi/4\ \text{rad}}\textbf{.}$

$\Delta\varphi = k\,\Delta x \;\Rightarrow\; \Delta x = \dfrac{\Delta\varphi}{k} = \dfrac{\pi/4}{\pi} = 0{,}25\ \text{m}$

Es la octava parte de la longitud de onda, como corresponde a un desfase de $\pi/4$ frente a los $2\pi$ de un ciclo completo.