Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Islas Canarias · 2021

El desplazamiento transversal de los puntos de una cuerda por los que se propaga una perturbación armónica viene dado por $y(x,t) = 0{,}5\cdot\text{sen}(5t - 10x + \varphi_0)$, donde $x$ e $y$ se miden en metros y $t$ en segundos. Si en el instante inicial ($t = 0$), la elongación en el origen de coordenadas ($x = 0$) es $0{,}5$, calcule:

a) El periodo, la longitud de onda y la fase inicial.

b) La velocidad de propagación de la perturbación, así como la velocidad máxima de vibración de cualquier punto de la cuerda.

c) La diferencia de fase, en un determinado instante, entre dos puntos de la cuerda separados entre sí una distancia de $40\ \text{cm}$.

$\textbf{a) El periodo, la longitud de onda y la fase inicial.}$

Se compara la ecuación del enunciado con la general de una onda armónica:

$y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t - kx + \varphi_0)$

$y(x,t) = 0{,}5\,\text{sen}(5t - 10x + \varphi_0)$

Identificando términos:

$A = 0{,}5\ \text{m}\qquad \omega = 5\ \text{rad/s}\qquad k = 10\ \text{rad/m}$

$T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{5} = 1{,}26\ \text{s}$

$\lambda = \dfrac{2\pi}{k} = \dfrac{2\pi}{10} = 0{,}628\ \text{m}$

La fase inicial sale de la condición del enunciado: en $t = 0$ y $x = 0$ la elongación vale $0{,}5\ \text{m}$, que es la amplitud.

$0{,}5 = 0{,}5\,\text{sen}\,\varphi_0 \;\Rightarrow\; \text{sen}\,\varphi_0 = 1 \;\Rightarrow\; \varphi_0 = \dfrac{\pi}{2}\ \text{rad}$

$\textbf{b) La velocidad de propagación de la perturbación, así como la velocidad máxima de vibración de cualquier punto de la cuerda.}$

$v = \dfrac{\omega}{k} = \dfrac{5}{10} = 0{,}5\ \text{m/s}$

La velocidad de vibración es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

$v_y = \dfrac{\partial y}{\partial t} = 0{,}5\cdot5\cos\left(5t - 10x + \dfrac{\pi}{2}\right)$

y es máxima cuando el coseno vale la unidad:

$v_{y,\max} = A\,\omega = 0{,}5\cdot5 = 2{,}5\ \text{m/s}$

$\textbf{c) La diferencia de fase, en un determinado instante, entre dos puntos de la cuerda separados entre sí una distancia de } \boldsymbol{40\ \text{cm}}\textbf{.}$

Para un instante fijo, la fase solo cambia por el término espacial:

$\Delta\varphi = k\,\Delta x = 10\cdot0{,}40 = 4\ \text{rad}$