Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2021

Un electrón penetra perpendicularmente (en el sentido positivo del eje $OY$) en una región donde existe un campo magnético uniforme de valor $10^{-2}\ \text{T}$ (en el sentido positivo del eje $OX$). Sabiendo que el electrón describe una trayectoria circular de $12\ \text{cm}$ de radio, calcule:

a) La fuerza que ejerce el campo magnético sobre el electrón e indique su dirección y sentido.

b) La energía cinética del electrón en eV.

c) El número de vueltas que da el electrón en $10^{-3}\ \text{s}$.

Datos: $q_e = -1{,}60\cdot10^{-19}\ \text{C}$; $m_e = 9{,}1\cdot10^{-31}\ \text{kg}$; $1\ \text{eV} = 1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

$\textbf{a) La fuerza que ejerce el campo magnético sobre el electrón e indique su dirección y sentido.}$










La velocidad es perpendicular al campo, así que la fuerza magnética hace de fuerza centrípeta:

$|q_e|\,v\,B = \dfrac{m_e\,v^2}{r} \;\Rightarrow\; v = \dfrac{|q_e|\,B\,r}{m_e}$

De aquí se obtiene primero la velocidad, que el enunciado no da.





$v = \dfrac{1{,}60\cdot10^{-19}\cdot10^{-2}\cdot0{,}12}{9{,}1\cdot10^{-31}} = 2{,}11\cdot10^{8}\ \text{m/s}$

$F = |q_e|\,v\,B = 1{,}60\cdot10^{-19}\cdot2{,}11\cdot10^{8}\cdot10^{-2} = 3{,}38\cdot10^{-13}\ \text{N}$

En cuanto a la dirección y el sentido, la velocidad va según $+\vec\jmath$ y el campo según $+\vec\imath$, de modo que $\vec v\times\vec B = -v\,B\,\vec k$. Como la carga del electrón es negativa, la fuerza sale en sentido contrario:

$\vec F = q_e\,(\vec v\times\vec B) = +|q_e|\,v\,B\,\vec k$

La fuerza tiene la dirección del eje $Z$ y sentido positivo, y en cada instante apunta hacia el centro de la circunferencia.

$\textbf{b) La energía cinética del electrón en eV.}$

$E_c = \dfrac12\,m_e\,v^2 = \dfrac12\cdot9{,}1\cdot10^{-31}\cdot(2{,}11\cdot10^{8})^2 = 2{,}03\cdot10^{-14}\ \text{J}$

$E_c = \dfrac{2{,}03\cdot10^{-14}}{1{,}6\cdot10^{-19}} = 1{,}27\cdot10^{5}\ \text{eV}$

$\textbf{c) El número de vueltas que da el electrón en } \boldsymbol{10^{-3}\ \text{s}}\textbf{.}$

El periodo del movimiento circular es:

$T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi\,m_e}{|q_e|\,B} = \dfrac{2\pi\cdot9{,}1\cdot10^{-31}}{1{,}60\cdot10^{-19}\cdot10^{-2}} = 3{,}57\cdot10^{-9}\ \text{s}$

$n = \dfrac{t}{T} = \dfrac{10^{-3}}{3{,}57\cdot10^{-9}} = 2{,}80\cdot10^{5}\ \text{vueltas}$

En un milisegundo el electrón da unas $280\,000$ vueltas. Obsérvese que en la expresión del periodo se simplifica la velocidad: el tiempo de una vuelta no depende de lo rápido que vaya la partícula.