Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Islas Canarias · 2022

Una onda armónica, senoidal y transversal se propaga por una cuerda en sentido negativo del eje $X$ con una frecuencia de $10\ \text{Hz}$, una velocidad de propagación de $30\ \text{m/s}$ y una fase inicial de $\pi/2\ \text{rad}$. Si en el instante inicial y en el origen de coordenadas la elongación de la cuerda es de $5\ \text{cm}$, determine:

a) La ecuación de la onda.

b) La velocidad de vibración de un punto de la cuerda situado en la posición $x = 20\ \text{cm}$ en el instante $t = 0{,}25\ \text{s}$.

c) La distancia entre dos puntos de la cuerda cuya diferencia de fase, en un determinado instante de tiempo, es $\pi/8\ \text{rad}$.

$\textbf{a) La ecuación de la onda.}$

Como la onda se propaga en el sentido negativo del eje $X$, los términos en $t$ y en $x$ llevan el mismo signo:

$y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t + kx + \varphi_0)$

Se calculan las constantes:

$\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot10 = 20\pi\ \text{rad/s}$

$\lambda = \dfrac{v}{f} = \dfrac{30}{10} = 3\ \text{m}$

$k = \dfrac{2\pi}{\lambda} = \dfrac{2\pi}{3}\ \text{rad/m}$

La amplitud se obtiene de la condición del enunciado: en $t = 0$ y $x = 0$ la elongación vale $5\ \text{cm}$, y la fase inicial es $\pi/2$:

$0{,}05 = A\,\text{sen}\dfrac{\pi}{2} = A \;\Rightarrow\; A = 0{,}05\ \text{m}$

Por tanto, en unidades del Sistema Internacional:

$y(x,t) = 0{,}05\,\text{sen}\left(20\pi t + \dfrac{2\pi}{3}x + \dfrac{\pi}{2}\right)\ \text{m}$

$\textbf{b) La velocidad de vibración de un punto de la cuerda situado en la posición } \boldsymbol{x = 20\ \text{cm}}\textbf{ en el instante } \boldsymbol{t = 0{,}25\ \text{s}}\textbf{.}$

La velocidad de vibración es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

$v_y = \dfrac{\partial y}{\partial t} = 0{,}05\cdot20\pi\cos\left(20\pi t + \dfrac{2\pi}{3}x + \dfrac{\pi}{2}\right)$

$v_y = \pi\cos\left(20\pi t + \dfrac{2\pi}{3}x + \dfrac{\pi}{2}\right)$

Sustituyendo $x = 0{,}20\ \text{m}$ y $t = 0{,}25\ \text{s}$, con el argumento en radianes:

$20\pi\cdot0{,}25 + \dfrac{2\pi}{3}\cdot0{,}20 + \dfrac{\pi}{2} = 5\pi + 0{,}419 + 1{,}571 = 17{,}70\ \text{rad}$

$v_y = \pi\cos(17{,}70) = 1{,}28\ \text{m/s}$

$\textbf{c) La distancia entre dos puntos de la cuerda cuya diferencia de fase, en un determinado instante de tiempo, es } \boldsymbol{\pi/8\ \text{rad}}\textbf{.}$

Para un instante fijo, la diferencia de fase depende solo de la separación:

$\Delta\varphi = k\,\Delta x \;\Rightarrow\; \Delta x = \dfrac{\Delta\varphi}{k} = \dfrac{\pi/8}{2\pi/3} = \dfrac{3}{16}$

$\Delta x = 0{,}1875\ \text{m}$

Es la dieciseisava parte de la longitud de onda, como corresponde a un desfase de $\pi/8$ frente a los $2\pi$ de un ciclo completo.