Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Islas Canarias · 2022

Sobre una cuerda se propaga una onda transversal cuya ecuación viene dada por $y(x,t) = A\cdot\text{sen}(5t - 10x + \varphi_0)$, donde $x$ e $y$ se miden en metros y $t$ en segundos. Si en el instante inicial ($t = 0$) en el origen de coordenadas ($x = 0$) la elongación de la cuerda es de $0{,}5\ \text{m}$ y la velocidad de $2\ \text{m/s}$, calcule:

a) El periodo, la longitud de onda e indique el sentido de propagación de la onda.

b) La amplitud y fase inicial de la onda.

c) La velocidad de propagación de la perturbación, así como la velocidad máxima de vibración de cualquier punto de la cuerda.

$\textbf{a) El periodo, la longitud de onda e indique el sentido de propagación de la onda.}$

Se compara la ecuación del enunciado con la general de una onda armónica:

$y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t - kx + \varphi_0)$

$y(x,t) = A\,\text{sen}(5t - 10x + \varphi_0)$

Identificando términos:

$\omega = 5\ \text{rad/s}\qquad k = 10\ \text{rad/m}$

$T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{5} = 1{,}26\ \text{s}$

$\lambda = \dfrac{2\pi}{k} = \dfrac{2\pi}{10} = 0{,}628\ \text{m}$

Como los términos en $t$ y en $x$ tienen signos opuestos, la onda se propaga en el sentido positivo del eje $X$.

$\textbf{b) La amplitud y fase inicial de la onda.}$

Las dos condiciones del enunciado, en $t = 0$ y $x = 0$, dan un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. La velocidad de vibración es:

$v_y = \dfrac{\partial y}{\partial t} = A\,\omega\cos(5t - 10x + \varphi_0)$

$\begin{cases} 0{,}5 = A\,\text{sen}\,\varphi_0 \\[2pt] 2 = 5A\cos\varphi_0 \end{cases}$

Elevando al cuadrado y sumando se elimina la fase:

$A^2 = 0{,}5^2 + \left(\dfrac{2}{5}\right)^2 = 0{,}25 + 0{,}16 = 0{,}41$

$A = 0{,}640\ \text{m}$

Dividiendo las dos ecuaciones se elimina la amplitud:

$\tan\varphi_0 = \dfrac{0{,}5}{0{,}4} = 1{,}25 \;\Rightarrow\; \varphi_0 = \arctan(1{,}25) = 0{,}896\ \text{rad}$

Se toma la solución del primer cuadrante porque en el instante inicial la elongación y la velocidad son las dos positivas.

$\textbf{c) La velocidad de propagación de la perturbación, así como la velocidad máxima de vibración de cualquier punto de la cuerda.}$

$v = \dfrac{\omega}{k} = \dfrac{5}{10} = 0{,}5\ \text{m/s}$

$v_{y,\max} = A\,\omega = 0{,}640\cdot5 = 3{,}20\ \text{m/s}$

Son dos velocidades distintas: la perturbación avanza a $0{,}5\ \text{m/s}$ mientras cada punto de la cuerda llega a moverse a $3{,}20\ \text{m/s}$ en dirección perpendicular.