Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2022

Un núcleo de fósforo tiene número atómico 15, número másico 31 y masa atómica $30{,}97\ \text{u}$. Se mueve con una velocidad de $0{,}25\,c$ respecto de un observador en reposo y durante un cierto tiempo de observación recorre una longitud de $1\ \text{m}$, respecto de este observador. Determine:

a) La longitud de onda de De Broglie asociada al núcleo de fósforo.

b) El espacio recorrido por este núcleo para un observador asociado a él.

c) La energía de enlace por nucleón en eV.

Datos: $1\ \text{u} = 1{,}66\cdot10^{-27}\ \text{kg}$; $m_p = 1{,}0073\ \text{u}$; $m_n = 1{,}0087\ \text{u}$; $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$; $1\ \text{eV} = 1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{J}$; $h = 6{,}63\cdot10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}$.

$\textbf{a) La longitud de onda de De Broglie asociada al núcleo de fósforo.}$

Se expresan primero la masa y la velocidad en unidades del Sistema Internacional:

$m = 30{,}97\cdot1{,}66\cdot10^{-27} = 5{,}14\cdot10^{-26}\ \text{kg}$

$v = 0{,}25\,c = 0{,}25\cdot3\cdot10^{8} = 7{,}5\cdot10^{7}\ \text{m/s}$

Aplicando la hipótesis de De Broglie:

$\lambda = \dfrac{h}{m\,v} = \dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}}{5{,}14\cdot10^{-26}\cdot7{,}5\cdot10^{7}} = 1{,}72\cdot10^{-16}\ \text{m}$

$\textbf{b) El espacio recorrido por este núcleo para un observador asociado a él.}$

El metro recorrido lo mide el observador en reposo, respecto del cual esa distancia está fija: es, por tanto, la longitud propia. Para el observador que viaja con el núcleo, la distancia aparece contraída:

$L = \dfrac{L_0}{\gamma}\qquad \gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}$

$\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 0{,}25^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{0{,}9375}} = 1{,}033$

$L = \dfrac{1}{1{,}033} = 0{,}968\ \text{m}$

Para un observador asociado al núcleo, el espacio recorrido es de $0{,}968\ \text{m}$, algo menor que el metro que mide el laboratorio.

$\textbf{c) La energía de enlace por nucleón en eV.}$

El fósforo tiene $Z = 15$ protones y $N = A - Z = 31 - 15 = 16$ neutrones:

$\Delta m = 15\cdot1{,}0073 + 16\cdot1{,}0087 - 30{,}97 = 0{,}2787\ \text{u}$

$\Delta m = 0{,}2787\cdot1{,}66\cdot10^{-27} = 4{,}63\cdot10^{-28}\ \text{kg}$

$E_e = \Delta m\,c^2 = 4{,}63\cdot10^{-28}\cdot(3\cdot10^{8})^2 = 4{,}16\cdot10^{-11}\ \text{J}$

$E_e = \dfrac{4{,}16\cdot10^{-11}}{1{,}6\cdot10^{-19}} = 2{,}60\cdot10^{8}\ \text{eV}$

Y por nucleón:

$\dfrac{E_e}{A} = \dfrac{2{,}60\cdot10^{8}}{31} = 8{,}39\cdot10^{6}\ \text{eV/nucleón}$

es decir, $8{,}39\ \text{MeV/nucleón}$, un valor próximo al máximo de la curva de estabilidad nuclear.