Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2022

Considere un material conductor sobre el que se hace incidir luz monocromática con el propósito de extraer electrones.

a) Determine el trabajo de extracción del material sabiendo que al incidir luz de frecuencia $1{,}4\cdot10^{15}\ \text{s}^{-1}$ emite electrones con velocidad máxima de $10^{6}\ \text{m/s}$.

b) Determine la longitud de onda de De Broglie de los electrones emitidos con esa velocidad máxima de $10^{6}\ \text{m/s}$ y, también, la longitud de onda de la luz incidente de frecuencia $1{,}4\cdot10^{15}\ \text{s}^{-1}$.

c) Si incide sobre el material una nueva luz monocromática de longitud de onda de $10^{-8}\ \text{m}$, cuál será ahora la velocidad máxima de los electrones emitidos.

Datos: $m_e = 9{,}11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$; $h = 6{,}63\cdot10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}$; $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

$\textbf{a) Determine el trabajo de extracción del material sabiendo que al incidir luz de frecuencia } \boldsymbol{1{,}4\cdot10^{15}\ \text{s}^{-1}}\textbf{ emite electrones con velocidad máxima de } \boldsymbol{10^{6}\ \text{m/s}}\textbf{.}$










La ecuación del efecto fotoeléctrico reparte la energía de cada fotón entre el trabajo de extracción y la energía cinética del electrón arrancado:

$h\,f = W_0 + E_{c,\max}$





$E_{c,\max} = \dfrac12\,m_e\,v_{\max}^2 = \dfrac12\cdot9{,}11\cdot10^{-31}\cdot(10^{6})^2 = 4{,}56\cdot10^{-19}\ \text{J}$

$h\,f = 6{,}63\cdot10^{-34}\cdot1{,}4\cdot10^{15} = 9{,}28\cdot10^{-19}\ \text{J}$

$W_0 = h\,f - E_{c,\max} = 9{,}28\cdot10^{-19} - 4{,}56\cdot10^{-19} = 4{,}73\cdot10^{-19}\ \text{J}$

que equivale a $2{,}95\ \text{eV}$.

$\textbf{b) Determine la longitud de onda de De Broglie de los electrones emitidos con esa velocidad máxima de } \boldsymbol{10^{6}\ \text{m/s}}\textbf{ y, también, la longitud de onda de la luz incidente de frecuencia } \boldsymbol{1{,}4\cdot10^{15}\ \text{s}^{-1}}\textbf{.}$

La hipótesis de De Broglie asocia a los electrones una longitud de onda:

$\lambda = \dfrac{h}{m_e\,v} = \dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}}{9{,}11\cdot10^{-31}\cdot10^{6}} = 7{,}28\cdot10^{-10}\ \text{m}$

La luz incidente se propaga en el vacío, de modo que su longitud de onda es:

$\lambda_{\text{luz}} = \dfrac{c}{f} = \dfrac{3\cdot10^{8}}{1{,}4\cdot10^{15}} = 2{,}14\cdot10^{-7}\ \text{m}$

Son dos longitudes de onda de naturaleza distinta: la primera es la onda asociada a una partícula material y la segunda, la de una onda electromagnética.

$\textbf{c) Si incide sobre el material una nueva luz monocromática de longitud de onda de } \boldsymbol{10^{-8}\ \text{m}}\textbf{, cuál será ahora la velocidad máxima de los electrones emitidos.}$

El trabajo de extracción es una propiedad del material y no cambia; lo que cambia es la energía del fotón:

$E = h\dfrac{c}{\lambda} = \dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^{8}}{10^{-8}} = 1{,}99\cdot10^{-17}\ \text{J}$

$E_{c,\max} = E - W_0 = 1{,}99\cdot10^{-17} - 4{,}73\cdot10^{-19} = 1{,}94\cdot10^{-17}\ \text{J}$

$v_{\max} = \sqrt{\dfrac{2\,E_{c,\max}}{m_e}} = \sqrt{\dfrac{2\cdot1{,}94\cdot10^{-17}}{9{,}11\cdot10^{-31}}} = 6{,}53\cdot10^{6}\ \text{m/s}$