Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2022

Un protón penetra con velocidad $\vec{v} = 2\cdot10^{8}\,\vec{j}$ (m/s) en una región del espacio donde existe un campo magnético uniforme $\vec{B} = 10^{-2}\,\vec{i}$ (T). Sabiendo que el protón describe una trayectoria circular, calcule:

a) El vector fuerza que ejerce el campo magnético sobre el protón.

b) El radio de la trayectoria circular que describe el protón, indicando en un dibujo dicha trayectoria, así como los vectores fuerza, campo magnético y velocidad.

c) El número de vueltas que da el electrón en $10^{-5}\ \text{s}$.

Datos: $q_p = 1{,}60\cdot10^{-19}\ \text{C}$; $m_p = 1{,}673\cdot10^{-27}\ \text{kg}$.

$\textbf{a) El vector fuerza que ejerce el campo magnético sobre el protón.}$

La fuerza magnética sobre una carga en movimiento es:

$\vec F = q\,(\vec v\times\vec B)$

Se desarrolla el producto vectorial:

$\vec v\times\vec B = \begin{vmatrix} \vec\imath & \vec\jmath & \vec k \\ 0 & 2\cdot10^{8} & 0 \\ 10^{-2} & 0 & 0 \end{vmatrix} = -2\cdot10^{6}\,\vec k$

$\vec F = 1{,}60\cdot10^{-19}\cdot(-2\cdot10^{6})\,\vec k = -3{,}2\cdot10^{-13}\,\vec k\ \text{N}$

La fuerza tiene la dirección del eje $Z$, sentido negativo, y módulo $3{,}2\cdot10^{-13}\ \text{N}$.

$\textbf{b) El radio de la trayectoria circular que describe el protón, indicando en un dibujo dicha trayectoria, así como los vectores fuerza, campo magnético y velocidad.}$










La fuerza es perpendicular a la velocidad en todo instante, de modo que no cambia su módulo y hace de fuerza centrípeta:

$|q|\,v\,B = \dfrac{m\,v^2}{r} \;\Rightarrow\; r = \dfrac{m\,v}{|q|\,B}$





$r = \dfrac{1{,}673\cdot10^{-27}\cdot2\cdot10^{8}}{1{,}60\cdot10^{-19}\cdot10^{-2}} = 209\ \text{m}$

$\textbf{c) El número de vueltas que da el electrón en } \boldsymbol{10^{-5}\ \text{s}}\textbf{.}$

La partícula que describe la trayectoria es el protón del enunciado, de modo que se calcula para él.

El periodo del movimiento circular es:

$T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi\,m}{|q|\,B} = \dfrac{2\pi\cdot1{,}673\cdot10^{-27}}{1{,}60\cdot10^{-19}\cdot10^{-2}} = 6{,}57\cdot10^{-6}\ \text{s}$

Y el número de vueltas es el cociente entre el tiempo total y el periodo:

$n = \dfrac{t}{T} = \dfrac{10^{-5}}{6{,}57\cdot10^{-6}} = 1{,}52\ \text{vueltas}$

En $10^{-5}\ \text{s}$ el protón da algo más de vuelta y media. Obsérvese que en la expresión final del periodo se simplifica la velocidad: el tiempo de una vuelta no depende de lo rápido que vaya la partícula.