Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2022

Dos cargas puntuales de $4\cdot10^{-6}\ \text{C}$ están situadas en los puntos $A(2,0)$ y $B(-2,0)$ de un sistema cartesiano. Sabiendo que las coordenadas están expresadas en metros, calcule:

a) El potencial electrostático en el punto $C(0,2)$.

b) El vector intensidad de campo eléctrico en el punto $C(0,2)$.

c) El trabajo realizado por el campo para llevar una carga puntual de $2\ \text{C}$ desde el punto $C(0,2)$ al punto $D(2,2)$.

Dato: $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{C}^{-2}$.

$\textbf{a) El potencial electrostático en el punto } \boldsymbol{C(0,2)}\textbf{.}$










El potencial es una magnitud escalar y se suman los creados por cada carga:

$V = K\dfrac{q}{r}$

Por simetría, las dos cargas están a la misma distancia de $C(0,2)$:

$r = |(2,-2)| = \sqrt8 = 2\sqrt2 = 2{,}83\ \text{m}$





$V_C = 2\cdot9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{4\cdot10^{-6}}{2{,}83} = 2{,}55\cdot10^{4}\ \text{V}$

$\textbf{b) El vector intensidad de campo eléctrico en el punto } \boldsymbol{C(0,2)}\textbf{.}$

El módulo del campo creado por cada carga es el mismo, porque las cargas y las distancias son iguales:

$E = K\dfrac{q}{r^2} = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{4\cdot10^{-6}}{8} = 4{,}5\cdot10^{3}\ \text{N/C}$

Las dos cargas son positivas, así que sus campos se alejan de ellas: el de $A(2,0)$ según el unitario $\frac{1}{2\sqrt2}(-2,2)$ y el de $B(-2,0)$ según $\frac{1}{2\sqrt2}(2,2)$.

Al sumarlos, las componentes horizontales se cancelan por simetría y solo queda la vertical:

$\vec E_C = \left(0,\ 2\cdot4{,}5\cdot10^{3}\cdot\dfrac{2}{2\sqrt2}\right) = (0,\ 6{,}36\cdot10^{3})\ \text{N/C}$

El campo en $C$ está dirigido según el eje $Y$ positivo y su módulo es $6{,}36\cdot10^{3}\ \text{N/C}$.

$\textbf{c) El trabajo realizado por el campo para llevar una carga puntual de } \boldsymbol{2\ \text{C}}\textbf{ desde el punto } \boldsymbol{C(0,2)}\textbf{ al punto } \boldsymbol{D(2,2)}\textbf{.}$

El campo electrostático es conservativo, de modo que el trabajo solo depende de los potenciales inicial y final:

$W_{C\to D} = q\,(V_C - V_D)$

Las distancias desde $D(2,2)$ a las cargas son:

$r_{AD} = |(0,-2)| = 2\ \text{m}\qquad r_{BD} = |(-4,-2)| = \sqrt{20} = 4{,}47\ \text{m}$

$V_D = 9\cdot10^{9}\cdot4\cdot10^{-6}\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4{,}47}\right) = 2{,}60\cdot10^{4}\ \text{V}$

$W_{C\to D} = 2\cdot(2{,}55\cdot10^{4} - 2{,}60\cdot10^{4}) = -1{,}19\cdot10^{3}\ \text{J}$

El trabajo del campo es negativo porque la carga positiva se desplaza hacia un punto de mayor potencial: hay que empujarla, y son fuerzas externas las que realizan un trabajo de $+1{,}19\cdot10^{3}\ \text{J}$.