Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2022

Un electrón posee una energía cinética de $25\ \text{eV}$. Calcule la longitud de onda de De Broglie asociada a una partícula de masa $m = 0{,}005\ \text{g}$ con la misma velocidad que dicho electrón.

Datos: $m_e = 9{,}11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$; $h = 6{,}63\cdot10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}$; $1\ \text{eV} = 1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

El problema tiene dos fases: i) obtener la velocidad del electrón a partir de su energía cinética, y ii) aplicar la hipótesis de De Broglie a la partícula macroscópica, que se mueve a esa misma velocidad.

i) Se expresa primero la energía cinética en unidades del Sistema Internacional:

$E_c = 25\ \text{eV}\cdot1{,}6\cdot10^{-19} = 4{,}0\cdot10^{-18}\ \text{J}$

$E_c = \dfrac12\,m_e\,v^2 \;\Rightarrow\; v = \sqrt{\dfrac{2\,E_c}{m_e}}$

$v = \sqrt{\dfrac{2\cdot4{,}0\cdot10^{-18}}{9{,}11\cdot10^{-31}}} = 2{,}96\cdot10^{6}\ \text{m/s}$

ii) La partícula de $m = 0{,}005\ \text{g} = 5\cdot10^{-6}\ \text{kg}$ se mueve con esa misma velocidad, de modo que su momento lineal vale:

$p = m\,v = 5\cdot10^{-6}\cdot2{,}96\cdot10^{6} = 14{,}8\ \text{kg}\,\text{m/s}$

Y su longitud de onda de De Broglie:

$\lambda = \dfrac{h}{p} = \dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}}{14{,}8} = 4{,}47\cdot10^{-35}\ \text{m}$

La longitud de onda asociada a la partícula es de $4{,}47\cdot10^{-35}\ \text{m}$, veinte órdenes de magnitud menor que un núcleo atómico. No existe ningún obstáculo con el que pueda difractarse, y por eso el comportamiento ondulatorio de los cuerpos macroscópicos es imposible de observar.