Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Islas Canarias · 2022

Para una onda de ecuación $y(x,t) = A\,\text{sen}\,2\pi\left(\dfrac{t}{T} - \dfrac{x}{\lambda}\right)$ la elongación $y$, de un punto en $x = 4\ \text{cm}$ y en el instante $t = T/6$, es igual a la mitad de la amplitud. Calcule la longitud de onda de dicha onda.

Se parte de la ecuación de onda del enunciado y se impone la condición que da:

$y(x,t) = A\,\text{sen}\,2\pi\left(\dfrac{t}{T} - \dfrac{x}{\lambda}\right)$

Para $x = 4\ \text{cm} = 0{,}04\ \text{m}$ y $t = \dfrac{T}{6}$ la elongación es la mitad de la amplitud:

$\dfrac{A}{2} = A\,\text{sen}\,2\pi\left(\dfrac{T/6}{T} - \dfrac{0{,}04}{\lambda}\right)$

La amplitud se simplifica, así que el resultado no depende de ella:

$\text{sen}\left[2\pi\left(\dfrac{1}{6} - \dfrac{0{,}04}{\lambda}\right)\right] = \dfrac12$

El primer ángulo cuyo seno vale un medio es $\dfrac{\pi}{6}$:

$2\pi\left(\dfrac{1}{6} - \dfrac{0{,}04}{\lambda}\right) = \dfrac{\pi}{6}$

$\dfrac{1}{6} - \dfrac{0{,}04}{\lambda} = \dfrac{1}{12} \;\Rightarrow\; \dfrac{0{,}04}{\lambda} = \dfrac{1}{12}$

$\lambda = 12\cdot0{,}04 = 0{,}48\ \text{m}$

Se descarta la otra solución del seno, $\dfrac{5\pi}{6}$, porque conduce a una longitud de onda negativa, que carece de sentido físico.

La longitud de onda es de $0{,}48\ \text{m} = 48\ \text{cm}$.