Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2022

A partir de la expresión del campo magnético creado por un conductor rectilíneo indefinido a una cierta distancia $d$ del mismo, deduzca las unidades en las que se expresa la permeabilidad magnética $\mu_0$ en el Sistema Internacional de unidades.

El campo magnético creado por un conductor rectilíneo indefinido a una distancia $d$ viene dado por la ley de Biot y Savart:

$B = \dfrac{\mu_0\,I}{2\pi\,d}$

Se despeja la permeabilidad magnética del vacío:

$\mu_0 = \dfrac{2\pi\,d\,B}{I}$

Y se sustituye cada magnitud por su unidad en el Sistema Internacional: la distancia en metros, el campo magnético en teslas y la intensidad en amperios. El factor $2\pi$ es adimensional.

$[\mu_0] = \dfrac{\text{m}\cdot\text{T}}{\text{A}} = \text{T}\,\text{m}\,\text{A}^{-1}$

Esa expresión puede desarrollarse más recurriendo a la definición del tesla a partir de la fuerza magnética sobre una carga en movimiento, $F = q\,v\,B$:

$\text{T} = \dfrac{\text{N}}{\text{C}\cdot\text{m}\,\text{s}^{-1}} = \dfrac{\text{N}}{\text{A}\,\text{m}}$

donde se ha usado que $1\ \text{A} = 1\ \text{C/s}$. Sustituyendo:

$[\mu_0] = \dfrac{\text{N}}{\text{A}\,\text{m}}\cdot\dfrac{\text{m}}{\text{A}} = \text{N}\,\text{A}^{-2}$

La permeabilidad magnética del vacío se expresa, por tanto, en $\text{T}\,\text{m}\,\text{A}^{-1}$ o, equivalentemente, en $\text{N}\,\text{A}^{-2}$, que es como suele darse su valor, $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{N}\,\text{A}^{-2}$.