Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2022

En los extremos de un segmento de $6\ \text{m}$ de longitud fijamos dos cargas eléctricas, una de ellas de $q_1 = 4\ \mu\text{C}$ y la otra $q_2 = -64\ \mu\text{C}$.

a) Halle el vector intensidad de campo eléctrico en el punto medio del segmento que las separa.

b) Determine a qué distancia de la carga $q_1$ la intensidad de campo es nula.

c) Calcule la intensidad de campo eléctrico en un punto que dista $6\ \text{m}$ de cada una de las cargas.

Datos: $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{C}^{-2}$.

$\textbf{a) Halle el vector intensidad de campo eléctrico en el punto medio del segmento que las separa.}$

Se toma el eje $X$ sobre el segmento, con $q_1$ en el origen y $q_2$ a $6\ \text{m}$. El punto medio dista $3\ \text{m}$ de cada carga.

El campo de la carga positiva se aleja de ella, hacia la derecha; el de la negativa apunta hacia ella, también hacia la derecha. Los dos tienen el mismo sentido y se suman:

$E_1 = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{4\cdot10^{-6}}{3^2} = 4{,}0\cdot10^{3}\ \text{N/C}$

$E_2 = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{64\cdot10^{-6}}{3^2} = 6{,}4\cdot10^{4}\ \text{N/C}$

$\vec E = (4{,}0\cdot10^{3} + 6{,}4\cdot10^{4})\,\vec\imath = 6{,}8\cdot10^{4}\,\vec\imath\ \text{N/C}$

$\textbf{b) Determine a qué distancia de la carga } \boldsymbol{q_1}\textbf{ la intensidad de campo es nula.}$










Se hace un estudio por regiones. Entre las cargas los dos campos apuntan en el mismo sentido y no pueden cancelarse. Al ser las cargas de distinto signo, el punto buscado queda fuera del segmento, y además del lado de la carga de menor valor absoluto, que es $q_1$.





Sea $x$ la distancia a $q_1$ por la parte exterior; la distancia a $q_2$ es entonces $x + 6$. Imponiendo que los módulos sean iguales:

$K\dfrac{|q_1|}{x^2} = K\dfrac{|q_2|}{(x+6)^2}$

$\dfrac{4}{x^2} = \dfrac{64}{(x+6)^2} \;\Rightarrow\; \dfrac{(x+6)^2}{x^2} = 16$

$\dfrac{x+6}{x} = 4 \;\Rightarrow\; x + 6 = 4x \;\Rightarrow\; x = 2\ \text{m}$

Se descarta la raíz negativa de la ecuación porque corresponde a un punto entre las cargas, donde ya se ha razonado que los dos campos se suman.

El campo se anula a $2\ \text{m}$ de la carga $q_1$, por el lado opuesto a $q_2$.

$\textbf{c) Calcule la intensidad de campo eléctrico en un punto que dista } \boldsymbol{6\ \text{m}}\textbf{ de cada una de las cargas.}$

Ese punto forma con las dos cargas un triángulo equilátero de lado $6\ \text{m}$, de modo que sus coordenadas son $P(3,\ 3\sqrt3)$.

$E_1 = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{4\cdot10^{-6}}{6^2} = 1{,}0\cdot10^{3}\ \text{N/C}$

$E_2 = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{64\cdot10^{-6}}{6^2} = 1{,}6\cdot10^{4}\ \text{N/C}$

El campo de $q_1$ se aleja de ella, según el unitario $\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right)$; el de $q_2$ apunta hacia ella, según $\left(\frac12,-\frac{\sqrt3}{2}\right)$:

$\vec E_1 = (5{,}0\cdot10^{2},\ 8{,}66\cdot10^{2})\ \text{N/C}$

$\vec E_2 = (8{,}0\cdot10^{3},\ -1{,}386\cdot10^{4})\ \text{N/C}$

$\vec E = (8{,}5\cdot10^{3},\ -1{,}299\cdot10^{4})\ \text{N/C}$

$|\vec E| = \sqrt{(8{,}5\cdot10^{3})^2 + (1{,}299\cdot10^{4})^2} = 1{,}55\cdot10^{4}\ \text{N/C}$