Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2022

En los extremos de un segmento de $6\text{ m}$ de longitud fijamos dos cargas eléctricas, una de ellas de $q_1=4\mu \text{C}$ y la otra $q_2=-64\mu \text{C}$.

a) Halle el vector intensidad de campo eléctrico en el punto medio del segmento que las separa.

b) Determine a qué distancia de la carga $q_1$ la intensidad de campo es nula.

c) Calcule la intensidad de campo eléctrico en un punto que dista $6\text{ m}$ de cada una de las cargas.

Datos: $K=9\cdot {10}^9\text{ N}{\text{m}}^2{\text{C}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{vector}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{segmento}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{separa.}}$

Se toma el eje $X$ sobre el segmento, con $q_1$ en el origen y $q_2$ a $6\text{ m}$. El punto medio dista $3\text{ m}$ de cada carga.

El campo de la carga positiva se aleja de ella, hacia la derecha; el de la negativa apunta hacia ella, también hacia la derecha. Los dos tienen el mismo sentido y se suman:

$E_1=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{4\cdot {10}^{-6}}{3^2}}=\mathrm{4,0}\cdot {10}^3\text{ N/C}$

$E_2=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{64\cdot {10}^{-6}}{3^2}}=\mathrm{6,4}\cdot {10}^4\text{ N/C}$

$\vec{E}=(\mathrm{4,0}\cdot {10}^3+\mathrm{6,4}\cdot {10}^4)\vec{\mathrm{ı}}=\mathrm{6,8}\cdot {10}^4\vec{\mathrm{ı}}\text{ N/C}$












Se hace un estudio por regiones. Entre las cargas los dos campos apuntan en el mismo sentido y no pueden cancelarse. Al ser las cargas de distinto signo, el punto buscado queda fuera del segmento, y además del lado de la carga de menor valor absoluto, que es $q_1$.





Sea $x$ la distancia a $q_1$ por la parte exterior; la distancia a $q_2$ es entonces $x+6$. Imponiendo que los módulos sean iguales:

$K{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{q}_1\mathrm{\mid }}{x^2}}=K{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{q}_2\mathrm{\mid }}{(x+6{)}^2}}$

${\displaystyle \frac{4}{x^2}}={\displaystyle \frac{64}{(x+6{)}^2}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{(x+6{)}^2}{x^2}}=16$

${\displaystyle \frac{x+6}{x}}=4\Rightarrow x+6=4x\Rightarrow x=2\text{ m}$

Se descarta la raíz negativa de la ecuación porque corresponde a un punto entre las cargas, donde ya se ha razonado que los dos campos se suman.

El campo se anula a $2\text{ m}$ de la carga $q_1$, por el lado opuesto a $q_2$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{dista}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">6</mn><mtext> m</mtext></mrow>}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{cargas.}}$

Ese punto forma con las dos cargas un triángulo equilátero de lado $6\text{ m}$, de modo que sus coordenadas son $P(3,3\sqrt{3})$.

$E_1=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{4\cdot {10}^{-6}}{6^2}}=\mathrm{1,0}\cdot {10}^3\text{ N/C}$

$E_2=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{64\cdot {10}^{-6}}{6^2}}=\mathrm{1,6}\cdot {10}^4\text{ N/C}$

El campo de $q_1$ se aleja de ella, según el unitario $(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$; el de $q_2$ apunta hacia ella, según $(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$:

${\vec{E}}_1=(\mathrm{5,0}\cdot {10}^2,\mathrm{8,66}\cdot {10}^2)\text{ N/C}$

${\vec{E}}_2=(\mathrm{8,0}\cdot {10}^3,-\mathrm{1,386}\cdot {10}^4)\text{ N/C}$

$\vec{E}=(\mathrm{8,5}\cdot {10}^3,-\mathrm{1,299}\cdot {10}^4)\text{ N/C}$

$\mathrm{\mid }\vec{E}\mathrm{\mid }=\sqrt{(\mathrm{8,5}\cdot {10}^3{)}^2+(\mathrm{1,299}\cdot {10}^4{)}^2}=\mathrm{1,55}\cdot {10}^4\text{ N/C}$