Ejercicio resuelto de Física relativista · Física · 2022

Dos amigos tienen 30 años de edad cuando uno de ellos decide realizar un viaje espacial en una nave. De regreso a la Tierra, el reloj del que se embarcó en la nave indica que tiene 36 años mientras que el reloj del que se quedó en la Tierra indica que tiene 48 años. ¿A qué velocidad viajó la nave?

Datos: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

El amigo que viaja en la nave envejece menos que el que se queda en la Tierra: es la dilatación del tiempo de la relatividad especial.

El tiempo propio es el que mide el reloj que viaja con el observador, es decir, el de la nave:

$\Delta t_p = 36 - 30 = 6\ \text{años}$

El tiempo medido desde la Tierra, respecto de la cual la nave se mueve, es:

$\Delta t = 48 - 30 = 18\ \text{años}$

Ambos están relacionados por el factor de Lorentz:

$\Delta t = \gamma\,\Delta t_p \;\Rightarrow\; \gamma = \dfrac{\Delta t}{\Delta t_p} = \dfrac{18}{6} = 3$

Y de la definición del factor de Lorentz se despeja la velocidad:

$\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} \;\Rightarrow\; 1 - \dfrac{v^2}{c^2} = \dfrac{1}{\gamma^2}$

$\dfrac{v}{c} = \sqrt{1 - \dfrac{1}{\gamma^2}} = \sqrt{1 - \dfrac19} = \sqrt{\dfrac89} = 0{,}943$

$v = 0{,}943\cdot3\cdot10^{8} = 2{,}83\cdot10^{8}\ \text{m/s}$

La nave viajó al $94{,}3\%$ de la velocidad de la luz. No hay contradicción entre los dos relojes: cada uno mide correctamente su propio tiempo, y solo el de la nave mide un tiempo propio, porque es el único que está presente en los dos sucesos, la partida y el regreso.