Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Islas Canarias · 2022

Una onda armónica transversal se desplaza en el sentido positivo del eje $X$ y tiene una amplitud de $2\ \text{cm}$, una longitud de onda de $4\ \text{cm}$ y una frecuencia de $8\ \text{Hz}$. Determine:

a) La velocidad de propagación de la onda.

b) La fase inicial y la expresión matemática que representa la onda, sabiendo que para $x = 0$ y $t = 0$ la elongación es $y = -2\ \text{cm}$.

c) La distancia mínima de separación entre dos partículas del medio que oscilan desfasadas $\pi/3\ \text{rad}$.

$\textbf{a) La velocidad de propagación de la onda.}$

La velocidad de propagación de una onda armónica es el producto de su longitud de onda por su frecuencia:

$v = \lambda\,f = 0{,}04\cdot8 = 0{,}32\ \text{m/s}$

$\textbf{b) La fase inicial y la expresión matemática que representa la onda, sabiendo que para } \boldsymbol{x = 0}\textbf{ y } \boldsymbol{t = 0}\textbf{ la elongación es } \boldsymbol{y = -2\ \text{cm}}\textbf{.}$

Se calculan primero la frecuencia angular y el número de onda:

$\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot8 = 16\pi\ \text{rad/s}$

$k = \dfrac{2\pi}{\lambda} = \dfrac{2\pi}{0{,}04} = 50\pi\ \text{rad/m}$

Como la onda avanza en el sentido positivo del eje $X$:

$y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t - kx + \varphi_0)$

Imponiendo la condición del enunciado, que en el origen y en el instante inicial la elongación sea $-2\ \text{cm}$, es decir, el mínimo:

$-0{,}02 = 0{,}02\,\text{sen}\,\varphi_0 \;\Rightarrow\; \text{sen}\,\varphi_0 = -1 \;\Rightarrow\; \varphi_0 = -\dfrac{\pi}{2}\ \text{rad}$

Por tanto, en unidades del Sistema Internacional:

$y(x,t) = 0{,}02\,\text{sen}\left(16\pi t - 50\pi x - \dfrac{\pi}{2}\right)\ \text{m}$

$\textbf{c) La distancia mínima de separación entre dos partículas del medio que oscilan desfasadas } \boldsymbol{\pi/3\ \text{rad}}\textbf{.}$

Para un instante dado, la diferencia de fase entre dos puntos depende solo de su separación:

$\Delta\varphi = k\,\Delta x \;\Rightarrow\; \Delta x = \dfrac{\Delta\varphi}{k}$

$\Delta x = \dfrac{\pi/3}{50\pi} = \dfrac{1}{150} = 6{,}67\cdot10^{-3}\ \text{m}$

La distancia mínima es de $6{,}67\ \text{mm}$, que es justamente la sexta parte de la longitud de onda, como corresponde a un desfase de $\pi/3$ frente a los $2\pi$ de un ciclo completo.