Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Islas Canarias · 2022

Por una cuerda se propaga una onda armónica cuya ecuación es $y(x,t) = 0{,}4\,\text{sen}\left(8t + 12x - \dfrac{\pi}{6}\right)$, donde $x$ e $y$ se miden en metros y $t$ en segundos. Calcule:

a) El periodo y la longitud de onda.

b) La velocidad de propagación de la perturbación, así como la velocidad máxima de cualquier punto de la cuerda.

c) La diferencia de fase, en un instante dado, entre dos puntos de la cuerda separados entre sí una distancia de $50\ \text{cm}$.

$\textbf{a) El periodo y la longitud de onda.}$

Se compara la ecuación del enunciado con la general de una onda armónica:

$y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t + kx + \varphi_0)$

$y(x,t) = 0{,}4\,\text{sen}\left(8t + 12x - \dfrac{\pi}{6}\right)$

Identificando términos:

$A = 0{,}4\ \text{m}\qquad \omega = 8\ \text{rad/s}\qquad k = 12\ \text{rad/m}$

Como los términos en $t$ y en $x$ llevan el mismo signo, la onda se propaga en el sentido negativo del eje $X$.

$T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{8} = 0{,}785\ \text{s}$

$\lambda = \dfrac{2\pi}{k} = \dfrac{2\pi}{12} = 0{,}524\ \text{m}$

$\textbf{b) La velocidad de propagación de la perturbación, así como la velocidad máxima de cualquier punto de la cuerda.}$

$v = \dfrac{\omega}{k} = \dfrac{8}{12} = 0{,}667\ \text{m/s}$

La velocidad de vibración es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

$v_y = \dfrac{\partial y}{\partial t} = 0{,}4\cdot8\cos\left(8t + 12x - \dfrac{\pi}{6}\right)$

y es máxima cuando el coseno vale la unidad:

$v_{y,\max} = A\,\omega = 0{,}4\cdot8 = 3{,}2\ \text{m/s}$

$\textbf{c) La diferencia de fase, en un instante dado, entre dos puntos de la cuerda separados entre sí una distancia de } \boldsymbol{50\ \text{cm}}\textbf{.}$

Para un instante fijo, la fase solo cambia por el término espacial:

$\Delta\varphi = k\,\Delta x = 12\cdot0{,}50 = 6\ \text{rad}$