Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

Considere un cuerpo sobre la superficie de la Tierra.

a) ¿Cuál es la velocidad que debe darse a dicho cuerpo para que escape de la acción de la gravedad?

Si por algún proceso interno, la Tierra redujese su radio a la mitad manteniendo su masa,

b) ¿cuál sería la nueva intensidad del campo gravitatorio en su superficie?

Considere ahora el movimiento de la Tierra en torno al Sol. Sabiendo que la distancia entre la Tierra y el Sol es de unos 150 millones de kilómetros,

c) calcule la velocidad orbital de la Tierra en torno al Sol y compruebe que ésta no se modificará debido a la reducción del radio terrestre mencionada en el apartado anterior.

Datos: $G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}$; $R_T = 6370\ \text{km}$; $M_T = 5{,}98\cdot10^{24}\ \text{kg}$; $M_{\text{Sol}} = 1{,}989\cdot10^{30}\ \text{kg}$.

$\textbf{a) ¿Cuál es la velocidad que debe darse a dicho cuerpo para que escape de la acción de la gravedad?}$










Escapar significa llegar al infinito con velocidad nula, de modo que la energía mecánica ha de ser cero:

$\dfrac12\,m\,v_{\text{esc}}^2 - G\dfrac{M_T\,m}{R_T} = 0$

$v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2\,G\,M_T}{R_T}}$





$v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}}{6{,}37\cdot10^{6}}} = 1{,}12\cdot10^{4}\ \text{m/s}$

La velocidad de escape terrestre es de $11{,}2\ \text{km/s}$ y no depende de la masa del cuerpo lanzado.

$\textbf{b) ¿cuál sería la nueva intensidad del campo gravitatorio en su superficie?}$

La intensidad del campo en la superficie es:

$g = G\dfrac{M_T}{R_T^2}$

Si la masa no cambia y el radio se reduce a la mitad, el denominador se divide entre cuatro:

$g' = G\dfrac{M_T}{\left(\dfrac{R_T}{2}\right)^2} = 4\,G\dfrac{M_T}{R_T^2} = 4g$

$g' = 4\cdot9{,}83 = 39{,}3\ \text{m/s}^2$

La gravedad en la superficie sería cuatro veces mayor, unos $39{,}3\ \text{m/s}^2$.

$\textbf{c) calcule la velocidad orbital de la Tierra en torno al Sol y compruebe que ésta no se modificará debido a la reducción del radio terrestre mencionada en el apartado anterior.}$

Para el movimiento de la Tierra alrededor del Sol, la fuerza gravitatoria que ejerce el Sol es la centrípeta:

$G\dfrac{M_{\text{Sol}}\,M_T}{d^2} = \dfrac{M_T\,v^2}{d} \;\Rightarrow\; v = \sqrt{\dfrac{G\,M_{\text{Sol}}}{d}}$

Con la distancia en unidades del Sistema Internacional, $d = 150\ \text{millones de km} = 1{,}5\cdot10^{11}\ \text{m}$:

$v = \sqrt{\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot1{,}989\cdot10^{30}}{1{,}5\cdot10^{11}}} = 2{,}97\cdot10^{4}\ \text{m/s}$

En la expresión de la velocidad orbital se ha simplificado la masa de la Tierra y no aparece por ninguna parte su radio: solo intervienen la masa del Sol y la distancia entre ambos. Por tanto, aunque la Tierra redujera su radio a la mitad, su velocidad orbital seguiría siendo la misma, $29{,}7\ \text{km/s}$.