Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Islas Canarias · 2023

La ecuación de una onda transversal sinusoidal que se propaga por una cuerda en el sentido positivo del eje $X$ viene dada por $y(x,t) = 0{,}5\cdot\text{sen}(5t - 10x + \varphi_0)$, donde $x$ e $y$ se miden en metros y $t$ en segundos. Si en el instante inicial ($t = 0$), la elongación en el origen de coordenadas ($x = 0$) es $0{,}5$, calcule:

a) El periodo, la longitud de onda y la fase inicial.

b) La velocidad de propagación de la perturbación, así como la velocidad máxima de vibración de cualquier punto de la cuerda.

c) La diferencia de fase, para un instante dado, entre dos puntos de la cuerda separados entre sí una distancia de $40\ \text{cm}$.

$\textbf{a) El periodo, la longitud de onda y la fase inicial.}$

Se compara la ecuación del enunciado con la general de una onda armónica:

$y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t - kx + \varphi_0)$

$y(x,t) = 0{,}5\,\text{sen}(5t - 10x + \varphi_0)$

Identificando términos:

$A = 0{,}5\ \text{m}\qquad \omega = 5\ \text{rad/s}\qquad k = 10\ \text{rad/m}$

$T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{5} = 1{,}26\ \text{s}$

$\lambda = \dfrac{2\pi}{k} = \dfrac{2\pi}{10} = 0{,}628\ \text{m}$

La fase inicial sale de la condición del enunciado: en $t = 0$ y $x = 0$ la elongación vale $0{,}5\ \text{m}$, es decir, la amplitud.

$0{,}5 = 0{,}5\,\text{sen}\,\varphi_0 \;\Rightarrow\; \text{sen}\,\varphi_0 = 1 \;\Rightarrow\; \varphi_0 = \dfrac{\pi}{2}\ \text{rad}$

$\textbf{b) La velocidad de propagación de la perturbación, así como la velocidad máxima de vibración de cualquier punto de la cuerda.}$

La velocidad de propagación es:

$v = \dfrac{\omega}{k} = \dfrac{5}{10} = 0{,}5\ \text{m/s}$

La velocidad de vibración es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

$v_y = \dfrac{\partial y}{\partial t} = 0{,}5\cdot5\cos\left(5t - 10x + \dfrac{\pi}{2}\right)$

y es máxima cuando el coseno vale la unidad:

$v_{y,\max} = A\,\omega = 0{,}5\cdot5 = 2{,}5\ \text{m/s}$

Son dos velocidades distintas: la perturbación avanza a $0{,}5\ \text{m/s}$ mientras cada punto de la cuerda sube y baja hasta a $2{,}5\ \text{m/s}$.

$\textbf{c) La diferencia de fase, para un instante dado, entre dos puntos de la cuerda separados entre sí una distancia de } \boldsymbol{40\ \text{cm}}\textbf{.}$

Para un instante fijo, la fase solo cambia por el término espacial:

$\Delta\varphi = k\,\Delta x = 10\cdot0{,}40 = 4\ \text{rad}$