Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2023

Un electrón entra con una velocidad $\vec{v} = 5\cdot10^{4}\,\vec{i}$ (m/s) en una región del espacio donde hay un campo magnético uniforme $\vec{B} = -2{,}5\,\vec{j}$ (T). Para el instante de entrada, determine:

a) El vector fuerza que ejerce el campo magnético sobre el electrón y el vector aceleración.

b) El radio de la trayectoria que describe el electrón al moverse en el interior del campo. Dibuje la trayectoria, el vector campo magnético, así como su velocidad y aceleración en un punto arbitrario de la trayectoria.

c) La energía cinética y el tiempo que tarda en completar una vuelta.

Datos: $q_e = -1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; $m_e = 9{,}11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

$\textbf{a) El vector fuerza que ejerce el campo magnético sobre el electrón y el vector aceleración.}$

La fuerza magnética sobre una carga en movimiento es:

$\vec F = q\,(\vec v\times\vec B)$

Se desarrolla el producto vectorial:

$\vec v\times\vec B = \begin{vmatrix} \vec\imath & \vec\jmath & \vec k \\ 5\cdot10^{4} & 0 & 0 \\ 0 & -2{,}5 & 0 \end{vmatrix} = -1{,}25\cdot10^{5}\,\vec k$

Y se multiplica por la carga del electrón, que es negativa:

$\vec F = -1{,}6\cdot10^{-19}\cdot(-1{,}25\cdot10^{5})\,\vec k = 2{,}0\cdot10^{-14}\,\vec k\ \text{N}$

La aceleración se obtiene de la segunda ley de Newton:

$\vec a = \dfrac{\vec F}{m_e} = \dfrac{2{,}0\cdot10^{-14}}{9{,}11\cdot10^{-31}}\,\vec k = 2{,}20\cdot10^{16}\,\vec k\ \text{m/s}^2$

$\textbf{b) El radio de la trayectoria que describe el electrón al moverse en el interior del campo. Dibuje la trayectoria, el vector campo magnético, así como su velocidad y aceleración en un punto arbitrario de la trayectoria.}$










La fuerza es perpendicular a la velocidad en todo instante, de modo que no cambia su módulo y hace de fuerza centrípeta:

$|q_e|\,v\,B = \dfrac{m_e\,v^2}{r} \;\Rightarrow\; r = \dfrac{m_e\,v}{|q_e|\,B}$





$r = \dfrac{9{,}11\cdot10^{-31}\cdot5\cdot10^{4}}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot2{,}5} = 1{,}14\cdot10^{-7}\ \text{m}$

La trayectoria es una circunferencia contenida en el plano $XZ$, perpendicular al campo. En cada punto la velocidad es tangente a ella y la aceleración, igual que la fuerza, apunta hacia el centro.

$\textbf{c) La energía cinética y el tiempo que tarda en completar una vuelta.}$

Como la fuerza magnética no realiza trabajo, el módulo de la velocidad no cambia y la energía cinética es la de entrada:

$E_c = \dfrac12\,m_e\,v^2 = \dfrac12\cdot9{,}11\cdot10^{-31}\cdot(5\cdot10^{4})^2 = 1{,}14\cdot10^{-21}\ \text{J}$

El periodo se obtiene de la longitud de la circunferencia y de la velocidad:

$T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi\,m_e}{|q_e|\,B} = \dfrac{2\pi\cdot9{,}11\cdot10^{-31}}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot2{,}5} = 1{,}43\cdot10^{-11}\ \text{s}$

Obsérvese que en la expresión final del periodo la velocidad se ha simplificado: todos los electrones tardan lo mismo en dar una vuelta, vayan deprisa o despacio.