Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2023

Dos cargas puntuales de $-5\ \mu\text{C}$ y $+6\ \mu\text{C}$ se encuentran colocadas en los puntos $A(3,0)$ y $B(0,4)$, respectivamente, de un sistema coordenado. Sabiendo que las coordenadas están dadas en metros, calcule:

a) El vector intensidad de campo eléctrico en el punto $P(3,4)$.

b) El vector fuerza electrostática que ejerce la carga de $-5\ \mu\text{C}$ sobre la carga de $+6\ \mu\text{C}$.

c) El trabajo realizado por el campo para llevar una carga de $-1\ \mu\text{C}$ desde el origen de coordenadas $(0,0)$ hasta el punto $P(3,4)$.

Datos: $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{C}^{-2}$.

$\textbf{a) El vector intensidad de campo eléctrico en el punto } \boldsymbol{P(3,4)}\textbf{.}$










El campo creado por una carga puntual es $\vec E = K\dfrac{q}{r^2}\,\vec u_r$, dirigido hacia la carga si es negativa y en sentido contrario si es positiva.

Las distancias desde $P(3,4)$ son:

$r_{AP} = |(0,4)| = 4\ \text{m}$

$r_{BP} = |(3,0)| = 3\ \text{m}$





La carga de $A(3,0)$ es negativa, así que el campo que crea en $P$ apunta hacia ella, en el sentido negativo del eje $Y$:

$E_A = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{5\cdot10^{-6}}{4^2} = 2{,}81\cdot10^{3}\ \text{N/C}$

La carga de $B(0,4)$ es positiva, y su campo se aleja de ella, en el sentido positivo del eje $X$:

$E_B = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{6\cdot10^{-6}}{3^2} = 6{,}00\cdot10^{3}\ \text{N/C}$

Por el principio de superposición:

$\vec E_P = (6{,}00\cdot10^{3},\ -2{,}81\cdot10^{3})\ \text{N/C}$

$|\vec E_P| = \sqrt{(6{,}00\cdot10^{3})^2 + (2{,}81\cdot10^{3})^2} = 6{,}63\cdot10^{3}\ \text{N/C}$

$\textbf{b) El vector fuerza electrostática que ejerce la carga de } \boldsymbol{-5\ \mu\text{C}}\textbf{ sobre la carga de } \boldsymbol{+6\ \mu\text{C}}\textbf{.}$

La distancia entre las dos cargas es:

$r_{AB} = |\overrightarrow{AB}| = |(-3,4)| = \sqrt{9+16} = 5\ \text{m}$

Aplicando la ley de Coulomb:

$F = K\dfrac{|q_A\,q_B|}{r_{AB}^2} = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{5\cdot10^{-6}\cdot6\cdot10^{-6}}{5^2} = 1{,}08\cdot10^{-2}\ \text{N}$

Como las cargas son de signos contrarios la fuerza es atractiva, es decir, va de $B$ hacia $A$, según el unitario $\frac15(3,-4)$:

$\vec F = 1{,}08\cdot10^{-2}\cdot\dfrac{1}{5}(3,-4) = (6{,}48\cdot10^{-3},\ -8{,}64\cdot10^{-3})\ \text{N}$

$\textbf{c) El trabajo realizado por el campo para llevar una carga de } \boldsymbol{-1\ \mu\text{C}}\textbf{ desde el origen de coordenadas } \boldsymbol{(0,0)}\textbf{ hasta el punto } \boldsymbol{P(3,4)}\textbf{.}$

El campo electrostático es conservativo, de modo que el trabajo depende solo de los potenciales inicial y final:

$W_{O\to P} = q\,(V_O - V_P)$

En el origen, las distancias a las cargas son $3\ \text{m}$ y $4\ \text{m}$:

$V_O = 9\cdot10^{9}\left(\dfrac{-5\cdot10^{-6}}{3} + \dfrac{6\cdot10^{-6}}{4}\right) = -1{,}50\cdot10^{3}\ \text{V}$

En $P$, las distancias son $4\ \text{m}$ y $3\ \text{m}$:

$V_P = 9\cdot10^{9}\left(\dfrac{-5\cdot10^{-6}}{4} + \dfrac{6\cdot10^{-6}}{3}\right) = 6{,}75\cdot10^{3}\ \text{V}$

$W_{O\to P} = -10^{-6}\cdot(-1{,}50\cdot10^{3} - 6{,}75\cdot10^{3}) = 8{,}25\cdot10^{-3}\ \text{J}$

El trabajo es positivo, luego lo realiza el propio campo: la carga es negativa y se desplaza espontáneamente hacia el punto de mayor potencial.