Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Islas Canarias · 2023

Un recipiente contiene agua y aceite. Calcule:



a) El ángulo de refracción de un rayo de luz que, procedente del fondo del recipiente, incide en la capa de aceite con un ángulo de $40^\circ$.

b) El ángulo de incidencia de un rayo de luz para que, incidiendo desde el aceite hacia el agua, se produzca la reflexión total.

c) La longitud de onda del haz de luz en el aceite, si la longitud de onda del haz de luz en el agua es de $450\ \text{nm}$.

Datos: $n_{\text{agua}} = 1{,}33$; $n_{\text{aceite}} = 1{,}45$; $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

$\textbf{a) El ángulo de refracción de un rayo de luz que, procedente del fondo del recipiente, incide en la capa de aceite con un ángulo de } \boldsymbol{40^\circ}\textbf{. (1,25 puntos)}$










El rayo viaja por el agua y llega a la superficie que la separa del aceite. Se aplica la ley de Snell:

$n_{\text{agua}}\,\text{sen}\,\hat\imath = n_{\text{aceite}}\,\text{sen}\,\hat r$





$\text{sen}\,\hat r = \dfrac{n_{\text{agua}}\,\text{sen}\,40^\circ}{n_{\text{aceite}}} = \dfrac{1{,}33\cdot0{,}643}{1{,}45} = 0{,}590$

$\hat r = \arcsin(0{,}590) = 36{,}1^\circ$

El rayo se acerca a la normal, como corresponde al pasar a un medio más refringente.

$\textbf{b) El ángulo de incidencia de un rayo de luz para que, incidiendo desde el aceite hacia el agua, se produzca la reflexión total. (1,25 puntos)}$

Ahora la luz va del medio más refringente, el aceite, al menos refringente, el agua, de modo que el rayo se aleja de la normal y puede haber reflexión total. El ángulo límite es aquel para el que el ángulo de refracción vale $90^\circ$:

$n_{\text{aceite}}\,\text{sen}\,\hat L = n_{\text{agua}}\,\text{sen}\,90^\circ$

$\text{sen}\,\hat L = \dfrac{n_{\text{agua}}}{n_{\text{aceite}}} = \dfrac{1{,}33}{1{,}45} = 0{,}917$

$\hat L = \arcsin(0{,}917) = 66{,}5^\circ$

Para cualquier ángulo de incidencia mayor que $66{,}5^\circ$ no hay rayo refractado y toda la luz vuelve al aceite.

$\textbf{c) La longitud de onda del haz de luz en el aceite, si la longitud de onda del haz de luz en el agua es de } \boldsymbol{450\ \text{nm}}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Al pasar de un medio a otro la frecuencia no cambia, porque la impone el foco emisor; lo que cambian son la velocidad y la longitud de onda. Como $v = \dfrac{c}{n}$ y $\lambda = \dfrac{v}{f}$, se cumple:

$\lambda_{\text{medio}} = \dfrac{\lambda_0}{n}$

donde $\lambda_0$ es la longitud de onda en el vacío. De los datos del agua:

$\lambda_0 = \lambda_{\text{agua}}\cdot n_{\text{agua}} = 450\cdot10^{-9}\cdot1{,}33 = 5{,}99\cdot10^{-7}\ \text{m}$

Y en el aceite:

$\lambda_{\text{aceite}} = \dfrac{\lambda_0}{n_{\text{aceite}}} = \dfrac{5{,}99\cdot10^{-7}}{1{,}45} = 4{,}13\cdot10^{-7}\ \text{m}$

La longitud de onda en el aceite es de $413\ \text{nm}$, menor que en el agua porque el aceite es más refringente y la luz se propaga por él más despacio.