Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Islas Canarias · 2023

Un objeto de $5\ \text{cm}$ de altura se coloca a $0{,}5\ \text{m}$ de una lente delgada produciendo una imagen derecha de $15\ \text{cm}$ de alto. Calcule:

a) A qué distancia de la lente se forma la imagen del objeto, así como la distancia focal de la lente. ¿La imagen es real o virtual?

b) La potencia de la lente y realice el trazado de rayos. ¿Se trata de una lente convergente o divergente?

c) La posición a la que debe situarse el objeto respecto de la lente para que su imagen se forme en el infinito. Realice el trazado de rayos.

$\textbf{a) A qué distancia de la lente se forma la imagen del objeto, así como la distancia focal de la lente. ¿La imagen es real o virtual?}$

La imagen es derecha, de modo que el aumento lateral es positivo:

$\beta = \dfrac{y'}{y} = \dfrac{15}{5} = 3$

$\beta = \dfrac{s'}{s} \;\Rightarrow\; s' = 3\,s = 3\cdot(-0{,}5) = -1{,}5\ \text{m}$

La imagen se forma a $1{,}5\ \text{m}$ de la lente, del mismo lado que el objeto. Como $s' < 0$, la imagen es virtual: se obtiene con las prolongaciones de los rayos y no puede recogerse sobre una pantalla.

Aplicando la ecuación de las lentes delgadas:

$\dfrac{1}{f'} = \dfrac{1}{s'} - \dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{-1{,}5} - \dfrac{1}{-0{,}5} = -0{,}667 + 2 = 1{,}33\ \text{m}^{-1}$

$f' = 0{,}75\ \text{m} = 75\ \text{cm}$

$\textbf{b) La potencia de la lente y realice el trazado de rayos. ¿Se trata de una lente convergente o divergente?}$

$P = \dfrac{1}{f'} = \dfrac{1}{0{,}75} = 1{,}33\ \text{D}$



La distancia focal imagen es positiva, luego la lente es convergente. El objeto está a $50\ \text{cm}$, más cerca de la lente que el foco objeto, que está a $75\ \text{cm}$: esa es la disposición de la lupa, y por eso la imagen sale virtual, derecha y mayor.

$\textbf{c) La posición a la que debe situarse el objeto respecto de la lente para que su imagen se forme en el infinito. Realice el trazado de rayos.}$

Si la imagen se forma en el infinito, $s' \to \infty$ y por tanto $\dfrac{1}{s'} \to 0$:

$0 - \dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{f'} \;\Rightarrow\; s = -f' = -0{,}75\ \text{m}$

Hay que colocar el objeto exactamente en el foco objeto, a $75\ \text{cm}$ de la lente. Los rayos que salen de un punto del objeto emergen entonces paralelos entre sí y no vuelven a cortarse a distancia finita.