Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

Un satélite meteorológico tiene una masa de $1070\ \text{kg}$ y se encuentra en la actualidad a una altura de $36\,000\ \text{km}$ por encima del ecuador describiendo una órbita circular en torno a la Tierra. Calcule:

a) La velocidad y la energía del satélite en su órbita.

b) La aceleración y el peso del satélite en su órbita.

c) La pérdida de energía del satélite, si después de unos años en funcionamiento, se encontrase a una altura de $35\,426\ \text{km}$ en una nueva órbita.

Datos: $G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}$; $M_{\text{Tierra}} = 5{,}98\cdot10^{24}\ \text{kg}$; $R_{\text{Tierra}} = 6370\ \text{km}$.

$\textbf{a) La velocidad y la energía del satélite en su órbita.}$










El radio de la órbita se mide desde el centro de la Tierra:

$r = R_T + h = 6370 + 36\,000 = 42\,370\ \text{km} = 4{,}237\cdot10^{7}\ \text{m}$

En la órbita la fuerza gravitatoria es la centrípeta:

$v = \sqrt{\dfrac{G\,M_T}{r}}$





$v = \sqrt{\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}}{4{,}237\cdot10^{7}}} = 3{,}07\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

La energía total de un satélite en órbita circular es la mitad de su energía potencial:

$E = -\dfrac{G\,M_T\,m}{2r} = -\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}\cdot1070}{2\cdot4{,}237\cdot10^{7}}$

$E = -5{,}04\cdot10^{9}\ \text{J}$

$\textbf{b) La aceleración y el peso del satélite en su órbita.}$

La aceleración del satélite es la centrípeta, que coincide con la intensidad del campo gravitatorio a esa distancia:

$a = G\dfrac{M_T}{r^2} = \dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}}{(4{,}237\cdot10^{7})^2} = 0{,}222\ \text{m/s}^2$

Y el peso es la fuerza gravitatoria que la Tierra ejerce sobre él:

$P = m\,a = 1070\cdot0{,}222 = 238\ \text{N}$

El satélite pesa, aunque sus ocupantes flotarían: están en caída libre permanente, y eso es lo que se percibe como ingravidez.

$\textbf{c) La pérdida de energía del satélite, si después de unos años en funcionamiento, se encontrase a una altura de } \boldsymbol{35\,426\ \text{km}}\textbf{ en una nueva órbita.}$

El nuevo radio orbital es:

$r' = 6370 + 35\,426 = 41\,796\ \text{km} = 4{,}1796\cdot10^{7}\ \text{m}$

$E' = -\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}\cdot1070}{2\cdot4{,}1796\cdot10^{7}} = -5{,}11\cdot10^{9}\ \text{J}$

$\Delta E = E' - E = -5{,}11\cdot10^{9} + 5{,}04\cdot10^{9} = -6{,}92\cdot10^{7}\ \text{J}$

El satélite ha perdido $6{,}92\cdot10^{7}\ \text{J}$. Al bajar de órbita su energía total disminuye, aunque paradójicamente su velocidad aumenta: lo que se pierde es energía potencial, y en mayor cantidad de la que se gana en cinética.