Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

Se lanza un satélite artificial desde la superficie de un planeta, verticalmente y con una velocidad de $20\ \text{km/s}$. La masa del planeta es dos veces la masa de la Tierra y su radio la mitad del radio terrestre. Calcule:

a) La velocidad de escape del planeta. ¿Se escapa el satélite artificial de dicho planeta?

b) Si en el momento del lanzamiento el satélite tiene una energía cinética de $10^{11}\ \text{J}$, calcule su masa y la fuerza que ejerce el planeta sobre él.

c) Admitiendo que el satélite queda ligado al planeta en una órbita circular, y recordando que fue lanzado con una velocidad de $20\ \text{km/s}$, calcule el radio de dicha órbita.

Datos: $G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}$; $M_{\text{Tierra}} = 5{,}98\cdot10^{24}\ \text{kg}$; $R_{\text{Tierra}} = 6370\ \text{km}$.

$\textbf{a) La velocidad de escape del planeta. ¿Se escapa el satélite artificial de dicho planeta?}$










Los datos del planeta se escriben en función de los terrestres:

$M = 2M_T = 1{,}196\cdot10^{25}\ \text{kg}$

$R = \dfrac{R_T}{2} = 3{,}185\cdot10^{6}\ \text{m}$

Escapar significa llegar al infinito con velocidad nula, es decir, con energía mecánica total cero.





$\dfrac12\,m\,v_{\text{esc}}^2 - G\dfrac{M\,m}{R} = 0 \;\Rightarrow\; v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2\,G\,M}{R}}$

$v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot1{,}196\cdot10^{25}}{3{,}185\cdot10^{6}}} = 2{,}24\cdot10^{4}\ \text{m/s}$

La velocidad de escape es de $22{,}4\ \text{km/s}$, mayor que los $20\ \text{km/s}$ con los que se lanza el satélite. Por tanto, el satélite no escapa del planeta: quedará ligado a él.

$\textbf{b) Si en el momento del lanzamiento el satélite tiene una energía cinética de } \boldsymbol{10^{11}\ \text{J}}\textbf{, calcule su masa y la fuerza que ejerce el planeta sobre él.}$

De la definición de energía cinética se despeja la masa:

$E_c = \dfrac12\,m\,v^2 \;\Rightarrow\; m = \dfrac{2\,E_c}{v^2} = \dfrac{2\cdot10^{11}}{(2\cdot10^{4})^2} = 500\ \text{kg}$

La fuerza en el momento del lanzamiento es el peso del satélite en la superficie del planeta:

$F = G\dfrac{M\,m}{R^2} = \dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot1{,}196\cdot10^{25}\cdot500}{(3{,}185\cdot10^{6})^2}$

$F = 3{,}93\cdot10^{4}\ \text{N}$

$\textbf{c) Admitiendo que el satélite queda ligado al planeta en una órbita circular, y recordando que fue lanzado con una velocidad de } \boldsymbol{20\ \text{km/s}}\textbf{, calcule el radio de dicha órbita.}$

El campo gravitatorio es conservativo, de modo que la energía mecánica del satélite en la órbita es la misma que tenía al lanzarlo:

$E = E_c + E_p = 10^{11} - G\dfrac{M\,m}{R} = 10^{11} - 1{,}25\cdot10^{11} = -2{,}52\cdot10^{10}\ \text{J}$

En una órbita circular la energía total es la mitad de la potencial:

$E = -\dfrac{G\,M\,m}{2r} \;\Rightarrow\; r = -\dfrac{G\,M\,m}{2E}$

$r = -\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot1{,}196\cdot10^{25}\cdot500}{2\cdot(-2{,}52\cdot10^{10})} = 7{,}90\cdot10^{6}\ \text{m}$

El radio de la órbita es de $7{,}90\cdot10^{6}\ \text{m}$, algo más del doble del radio del planeta.