Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2023

Considere una partícula con carga $q$ y masa $m$ que describe un movimiento circular de radio $r$ dentro de un campo magnético $B$, perpendicular al plano de la trayectoria. Deduzca la expresión de la energía cinética en función de $q$, $m$, $r$ y $B$. Calcule la energía cinética para un protón que describe dicho movimiento, si el radio es $75\ \text{cm}$ y el campo magnético es $2\ \text{G}$.

Datos: $m_p = 1{,}67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$; $q_p = 1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; $1\ \text{G} = 10^{-4}\ \text{T}$.

La velocidad es perpendicular al campo magnético, de modo que la fuerza de Lorentz es perpendicular a la velocidad en todo instante: no realiza trabajo, no cambia el módulo de la velocidad y hace de fuerza centrípeta.

$|q|\,v\,B = \dfrac{m\,v^2}{r}$





De esa igualdad se despeja la velocidad:

$v = \dfrac{|q|\,B\,r}{m}$

Y se sustituye en la expresión de la energía cinética:

$E_c = \dfrac12\,m\,v^2 = \dfrac12\,m\left(\dfrac{|q|\,B\,r}{m}\right)^2$

$E_c = \dfrac{q^2\,B^2\,r^2}{2m}$

Para el protón, con el campo en unidades del Sistema Internacional, $B = 2\ \text{G} = 2\cdot10^{-4}\ \text{T}$, y $r = 75\ \text{cm} = 0{,}75\ \text{m}$:

$E_c = \dfrac{(1{,}6\cdot10^{-19})^2\cdot(2\cdot10^{-4})^2\cdot(0{,}75)^2}{2\cdot1{,}67\cdot10^{-27}}$

$E_c = 1{,}72\cdot10^{-19}\ \text{J}$

La energía cinética del protón es de $1{,}72\cdot10^{-19}\ \text{J}$, algo más de un electronvoltio.