Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Islas Canarias · 2023

Una onda armónica sinusoidal y transversal se propaga por una cuerda en sentido de las $x$ positivas. Su amplitud es de $10\ \text{cm}$, la frecuencia de $25\ \text{Hz}$, la velocidad de propagación $10\ \text{m/s}$. En el instante inicial, el punto que se encuentra en $x = 20\ \text{cm}$ tiene una elongación de $-5\ \text{cm}$. Calcule:

a) La longitud de onda, el periodo, la fase inicial y la ecuación de la elongación.

b) La diferencia de fase entre dos instantes separados $0{,}5\ \text{s}$, para un punto dado.

c) Energía que adquiere cada partícula de la cuerda si su masa es de $10\ \text{g}$.

$\textbf{a) La longitud de onda, el periodo, la fase inicial y la ecuación de la elongación.}$

De los datos del enunciado:

$\lambda = \dfrac{v}{f} = \dfrac{10}{25} = 0{,}4\ \text{m}$

$T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{25} = 0{,}04\ \text{s}$

$\omega = 2\pi f = 50\pi\ \text{rad/s}\qquad k = \dfrac{2\pi}{\lambda} = 5\pi\ \text{rad/m}$

Como la onda avanza en el sentido positivo del eje $X$:

$y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t - kx + \varphi_0)$

La fase inicial se obtiene de la condición del enunciado: en $t = 0$, el punto $x = 0{,}2\ \text{m}$ tiene una elongación de $-0{,}05\ \text{m}$.

$-0{,}05 = 0{,}1\,\text{sen}(-5\pi\cdot0{,}2 + \varphi_0) = 0{,}1\,\text{sen}(\varphi_0 - \pi)$

$\text{sen}(\varphi_0 - \pi) = -0{,}5 \;\Rightarrow\; \varphi_0 - \pi = -\dfrac{5\pi}{6} \;\Rightarrow\; \varphi_0 = \dfrac{\pi}{6}\ \text{rad}$

Por tanto, en unidades del Sistema Internacional:

$y(x,t) = 0{,}1\,\text{sen}\left(50\pi t - 5\pi x + \dfrac{\pi}{6}\right)\ \text{m}$

$\textbf{b) La diferencia de fase entre dos instantes separados } \boldsymbol{0{,}5\ \text{s}}\textbf{, para un punto dado.}$

Para un punto fijo, la fase solo cambia por el término temporal:

$\Delta\varphi = \omega\,\Delta t = 50\pi\cdot0{,}5 = 25\pi\ \text{rad}$

$\Delta\varphi = 78{,}5\ \text{rad}$

Como $25\pi = 24\pi + \pi$, esa diferencia equivale a $\pi\ \text{rad}$: en medio segundo caben doce periodos y medio, de modo que el punto está en oposición de fase respecto del instante inicial.

$\textbf{c) Energía que adquiere cada partícula de la cuerda si su masa es de } \boldsymbol{10\ \text{g}}\textbf{.}$

Cada partícula de la cuerda describe un movimiento armónico simple, y su energía mecánica es:

$E = \dfrac12\,m\,\omega^2 A^2$

Con la masa en kilogramos, $m = 10\ \text{g} = 0{,}01\ \text{kg}$:

$E = \dfrac12\cdot0{,}01\cdot(50\pi)^2\cdot(0{,}1)^2 = 1{,}23\ \text{J}$

Cada partícula de la cuerda oscila con una energía de $1{,}23\ \text{J}$, que es la que le transmite la onda al pasar por ella.