Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

En los vértices de un triángulo se encuentran situadas tres masas, siendo sus posiciones $A(0,0)$, $B(3,4)$ y $C(6,0)$ expresadas en metros, y sus masas $m_A = 3\cdot10^{6}\ \text{kg}$, $m_B = 4\cdot10^{6}\ \text{kg}$ y $m_C = 5\cdot10^{6}\ \text{kg}$ respectivamente. Calcule:

a) El vector intensidad de campo gravitatorio en el punto $D(3,0)$.

b) La fuerza total que las masas en $A$ y $B$ ejercen sobre la masa situada en $C$.

c) La energía potencial total de la distribución de las tres masas.

Datos: $G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}$.

$\textbf{a) El vector intensidad de campo gravitatorio en el punto } \boldsymbol{D(3,0)}\textbf{.}$










El campo gravitatorio creado por una masa puntual es:

$\vec g = -G\dfrac{m}{r^2}\,\vec u_r$

y siempre apunta hacia la masa que lo crea. Las distancias desde $D(3,0)$ son $r_{AD} = 3\ \text{m}$, $r_{BD} = 4\ \text{m}$ y $r_{CD} = 3\ \text{m}$.





Campo creado por $m_A$, dirigido hacia $A$, es decir, en el sentido negativo del eje $X$:

$g_A = \dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot3\cdot10^{6}}{3^2} = 2{,}22\cdot10^{-5}\ \text{N/kg}$

Campo creado por $m_B$, dirigido hacia $B$, en el sentido positivo del eje $Y$:

$g_B = \dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot4\cdot10^{6}}{4^2} = 1{,}67\cdot10^{-5}\ \text{N/kg}$

Campo creado por $m_C$, dirigido hacia $C$, en el sentido positivo del eje $X$:

$g_C = \dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5\cdot10^{6}}{3^2} = 3{,}71\cdot10^{-5}\ \text{N/kg}$

Por el principio de superposición:

$\vec g_D = (-2{,}22\cdot10^{-5} + 3{,}71\cdot10^{-5})\,\vec\imath + 1{,}67\cdot10^{-5}\,\vec\jmath$

$\vec g_D = (1{,}48\cdot10^{-5},\ 1{,}67\cdot10^{-5})\ \text{N/kg}$

$|\vec g_D| = 2{,}23\cdot10^{-5}\ \text{N/kg}$

$\textbf{b) La fuerza total que las masas en } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{ ejercen sobre la masa situada en } \boldsymbol{C}\textbf{.}$

Las distancias son ahora $r_{AC} = 6\ \text{m}$ y $r_{BC} = \sqrt{3^2+4^2} = 5\ \text{m}$.

Fuerza que ejerce $m_A$ sobre $m_C$, dirigida de $C$ hacia $A$, en el sentido negativo del eje $X$:

$F_A = G\dfrac{m_A\,m_C}{r_{AC}^2} = \dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot3\cdot10^{6}\cdot5\cdot10^{6}}{6^2} = 27{,}8\ \text{N}$

Fuerza que ejerce $m_B$, dirigida de $C$ hacia $B$, según el unitario $\frac15(-3,4)$:

$F_B = \dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot4\cdot10^{6}\cdot5\cdot10^{6}}{5^2} = 53{,}4\ \text{N}$

$\vec F_B = 53{,}4\cdot\dfrac{1}{5}(-3,4) = (-32{,}0,\ 42{,}7)\ \text{N}$

Sumando las dos:

$\vec F_C = (-27{,}8 - 32{,}0,\ 42{,}7) = (-59{,}8,\ 42{,}7)\ \text{N}$

$|\vec F_C| = \sqrt{59{,}8^2 + 42{,}7^2} = 73{,}5\ \text{N}$

$\textbf{c) La energía potencial total de la distribución de las tres masas.}$

La energía potencial de la distribución es la suma de las energías de cada par de masas, contando cada pareja una sola vez:

$E_p = -G\left(\dfrac{m_A m_B}{r_{AB}} + \dfrac{m_A m_C}{r_{AC}} + \dfrac{m_B m_C}{r_{BC}}\right)$

Con $r_{AB} = 5\ \text{m}$, $r_{AC} = 6\ \text{m}$ y $r_{BC} = 5\ \text{m}$:

$E_p = -6{,}67\cdot10^{-11}\left(\dfrac{1{,}2\cdot10^{13}}{5} + \dfrac{1{,}5\cdot10^{13}}{6} + \dfrac{2\cdot10^{13}}{5}\right)$

$E_p = -6{,}67\cdot10^{-11}\cdot8{,}9\cdot10^{12} = -594\ \text{J}$

La energía potencial es negativa, como corresponde a un sistema ligado: harían falta $594\ \text{J}$ para separar las tres masas indefinidamente.