Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

Un planeta de masa $4\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y radio $4200\ \text{km}$ tiene un satélite, de masa de $250\ \text{kg}$, a una altura de $3\cdot10^{4}\ \text{km}$ sobre la superficie del planeta. El satélite se mueve en una órbita circular. Calcule:

a) La aceleración de la gravedad que ejerce el planeta sobre un punto de su superficie y sobre un punto de la órbita del satélite.

b) La velocidad de escape desde la superficie del planeta.

c) La energía cinética y el periodo del satélite en su órbita.

Datos: $G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}$.

$\textbf{a) La aceleración de la gravedad que ejerce el planeta sobre un punto de su superficie y sobre un punto de la órbita del satélite.}$










La aceleración de la gravedad coincide con la intensidad del campo gravitatorio:

$g = G\dfrac{M}{r^2}$

En la superficie $r = R$, y en la órbita $r = R + h$.





Con los datos en unidades del Sistema Internacional, $R = 4200\ \text{km} = 4{,}2\cdot10^{6}\ \text{m}$ y $h = 3\cdot10^{4}\ \text{km} = 3\cdot10^{7}\ \text{m}$:

$g_{\text{sup}} = \dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot4\cdot10^{24}}{(4{,}2\cdot10^{6})^2} = 15{,}1\ \text{m/s}^2$

$r = 4{,}2\cdot10^{6} + 3\cdot10^{7} = 3{,}42\cdot10^{7}\ \text{m}$

$g_{\text{órbita}} = \dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot4\cdot10^{24}}{(3{,}42\cdot10^{7})^2} = 0{,}228\ \text{m/s}^2$

$\textbf{b) La velocidad de escape desde la superficie del planeta.}$

Escapar significa llegar al infinito con velocidad nula, de modo que la energía mecánica total ha de ser cero:

$\dfrac12\,m\,v_{\text{esc}}^2 - G\dfrac{M\,m}{R} = 0 \;\Rightarrow\; v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2\,G\,M}{R}}$

$v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot4\cdot10^{24}}{4{,}2\cdot10^{6}}} = 1{,}13\cdot10^{4}\ \text{m/s}$

$\textbf{c) La energía cinética y el periodo del satélite en su órbita.}$

En la órbita la fuerza gravitatoria es la centrípeta, y de ahí sale la velocidad orbital:

$G\dfrac{M\,m}{r^2} = \dfrac{m\,v^2}{r} \;\Rightarrow\; v^2 = \dfrac{G\,M}{r} = \dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot4\cdot10^{24}}{3{,}42\cdot10^{7}} = 7{,}80\cdot10^{6}\ \text{m}^2/\text{s}^2$

$E_c = \dfrac12\,m\,v^2 = \dfrac12\cdot250\cdot7{,}80\cdot10^{6} = 9{,}75\cdot10^{8}\ \text{J}$

Para el periodo se usa la tercera ley de Kepler, que se obtiene escribiendo $v = \dfrac{2\pi r}{T}$ en la ecuación anterior:

$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{G\,M}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{(3{,}42\cdot10^{7})^3}{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot4\cdot10^{24}}}$

$T = 7{,}69\cdot10^{4}\ \text{s} = 21{,}4\ \text{h}$

El satélite tarda unas $21{,}4$ horas en dar una vuelta al planeta.