Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Islas Canarias · 2023

Un objeto luminoso de $3\ \text{cm}$ de altura está situado a $2\ \text{m}$ de distancia de una pantalla. Entre el objeto y la pantalla se coloca una lente delgada, de distancia focal desconocida, de tal manera que se produce sobre la pantalla una imagen de $12\ \text{cm}$ de altura.

a) Indique la naturaleza de la lente y el tipo de imagen producida, y realice la construcción del diagrama de rayos.

b) Calcule el aumento lateral y las posiciones del objeto y de la imagen.

c) Calcule la distancia focal de la lente y su potencia.

$\textbf{a) Indique la naturaleza de la lente y el tipo de imagen producida, y realice la construcción del diagrama de rayos.}$

La imagen se recoge sobre una pantalla, luego es real. Además es mayor que el objeto, de $12\ \text{cm}$ frente a $3\ \text{cm}$. Solo una lente convergente puede dar imágenes reales, y las da invertidas.



Se trata, por tanto, de una lente convergente que produce una imagen real, invertida y mayor que el objeto, lo que exige que el objeto esté situado entre el foco objeto y el doble de la distancia focal.

$\textbf{b) Calcule el aumento lateral y las posiciones del objeto y de la imagen.}$

Como la imagen es invertida, su altura es negativa:

$\beta = \dfrac{y'}{y} = \dfrac{-12}{3} = -4$

Y por definición del aumento lateral:

$\beta = \dfrac{s'}{s} \;\Rightarrow\; s' = -4\,s$

La distancia entre el objeto y la pantalla es de $2\ \text{m}$, con el objeto a la izquierda de la lente y la imagen a la derecha:

$s' - s = 2 \;\Rightarrow\; -4s - s = 2 \;\Rightarrow\; s = -0{,}4\ \text{m}$

$s' = -4\cdot(-0{,}4) = 1{,}6\ \text{m}$

El objeto está a $40\ \text{cm}$ de la lente y la imagen a $1{,}6\ \text{m}$, al otro lado.

$\textbf{c) Calcule la distancia focal de la lente y su potencia.}$

$\dfrac{1}{f'} = \dfrac{1}{s'} - \dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{1{,}6} - \dfrac{1}{-0{,}4} = 0{,}625 + 2{,}5 = 3{,}125\ \text{m}^{-1}$

$f' = 0{,}32\ \text{m} = 32\ \text{cm}$

$P = \dfrac{1}{f'} = 3{,}125\ \text{D}$

La distancia focal imagen es positiva, lo que confirma que la lente es convergente, y el objeto, a $40\ \text{cm}$, está efectivamente entre $f' = 32\ \text{cm}$ y $2f' = 64\ \text{cm}$.