Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2023

Sobre la superficie de un cátodo de cesio incide luz de $300\ \text{nm}$ de longitud de onda. Si se emiten electrones con una velocidad de $9{,}07\cdot10^{5}\ \text{m/s}$, calcule:

a) La energía de la radiación incidente.

b) La frecuencia umbral del cesio.

c) La diferencia de potencial necesaria para frenar completamente los electrones emitidos.

Datos: $h = 6{,}626\cdot10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}$; $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$; $q_e = 1{,}602\cdot10^{-19}\ \text{C}$; $m_e = 9{,}11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

$\textbf{a) La energía de la radiación incidente.}$










La radiación se propaga en el vacío, de modo que la energía de cada fotón, según la hipótesis de Planck, es:

$E = h\,f = h\dfrac{c}{\lambda}$





$\lambda = 300\ \text{nm} = 3{,}00\cdot10^{-7}\ \text{m}$

$E = 6{,}626\cdot10^{-34}\cdot\dfrac{3\cdot10^{8}}{3{,}00\cdot10^{-7}} = 6{,}63\cdot10^{-19}\ \text{J}$

$\textbf{b) La frecuencia umbral del cesio.}$

La ecuación del efecto fotoeléctrico reparte la energía del fotón entre el trabajo de extracción y la energía cinética del electrón:

$h\,f = W_0 + E_{c,\max}$

La energía cinética se obtiene de la velocidad de los electrones emitidos:

$E_{c,\max} = \dfrac12\,m_e\,v^2 = \dfrac12\cdot9{,}11\cdot10^{-31}\cdot(9{,}07\cdot10^{5})^2 = 3{,}75\cdot10^{-19}\ \text{J}$

Despejando el trabajo de extracción:

$W_0 = h\,f - E_{c,\max} = 6{,}63\cdot10^{-19} - 3{,}75\cdot10^{-19} = 2{,}88\cdot10^{-19}\ \text{J}$

Y la frecuencia umbral es aquella cuyos fotones tienen exactamente esa energía:

$f_0 = \dfrac{W_0}{h} = \dfrac{2{,}88\cdot10^{-19}}{6{,}626\cdot10^{-34}} = 4{,}34\cdot10^{14}\ \text{Hz}$

$\textbf{c) La diferencia de potencial necesaria para frenar completamente los electrones emitidos.}$

El potencial de frenado es aquel cuyo trabajo eléctrico consume justo la energía cinética máxima de los electrones:

$|q_e|\,V_0 = E_{c,\max} \;\Rightarrow\; V_0 = \dfrac{E_{c,\max}}{|q_e|}$

$V_0 = \dfrac{3{,}75\cdot10^{-19}}{1{,}602\cdot10^{-19}} = 2{,}34\ \text{V}$

Con una diferencia de potencial de $2{,}34\ \text{V}$ opuesta al movimiento se detiene incluso a los electrones más rápidos y deja de circular corriente.