Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2023

Considere la siguiente reacción nuclear: ${}^{2}_{1}\text{H} + {}^{3}_{1}\text{H} \rightarrow {}^{4}_{2}\text{He} + {}^{1}_{0}\text{n}$. Determine:

a) El valor de la energía liberada. ¿Qué tipo de reacción nuclear es?

b) La longitud de onda de De Broglie asociada al neutrón si se mueve a $200\ \text{m/s}$.

c) El neutrón es acelerado hasta que alcanza una velocidad de $0{,}6\,c$. ¿Cuánto ha variado su masa?

Datos: $m({}^{2}\text{H}) = 2{,}01410\ \text{u}$; $m({}^{3}\text{H}) = 3{,}01605\ \text{u}$; $m({}^{4}\text{He}) = 4{,}00260\ \text{u}$; $m({}^{1}\text{n}) = 1{,}00866\ \text{u}$; $1\ \text{u} = 1{,}66054\cdot10^{-27}\ \text{kg}$; $h = 6{,}626\cdot10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}$; $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

$\textbf{a) El valor de la energía liberada. ¿Qué tipo de reacción nuclear es?}$

La energía liberada procede de la diferencia de masa entre los reactivos y los productos, según la equivalencia masa-energía de Einstein:

$\Delta m = \sum m_{\text{reactivos}} - \sum m_{\text{productos}}$

$\Delta m = (2{,}01410 + 3{,}01605) - (4{,}00260 + 1{,}00866) = 1{,}889\cdot10^{-2}\ \text{u}$

Se expresa en kilogramos:

$\Delta m = 1{,}889\cdot10^{-2}\cdot1{,}66054\cdot10^{-27} = 3{,}14\cdot10^{-29}\ \text{kg}$

$E = \Delta m\,c^2 = 3{,}14\cdot10^{-29}\cdot(3\cdot10^{8})^2 = 2{,}82\cdot10^{-12}\ \text{J}$

que, tomando $1\ \text{eV} = 1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{J}$, equivale a $17{,}6\ \text{MeV}$.

Como la masa de los productos es menor que la de los reactivos, la reacción libera energía. Se trata de una reacción de fusión nuclear: dos núcleos ligeros, el deuterio y el tritio, se unen para dar uno más pesado, el helio-4, más un neutrón. Es la reacción que alimenta a las estrellas.

$\textbf{b) La longitud de onda de De Broglie asociada al neutrón si se mueve a } \boldsymbol{200\ \text{m/s}}\textbf{.}$

La masa del neutrón en unidades del Sistema Internacional es:

$m_n = 1{,}00866\cdot1{,}66054\cdot10^{-27} = 1{,}67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$

Y aplicando la hipótesis de De Broglie:

$\lambda = \dfrac{h}{p} = \dfrac{h}{m_n\,v} = \dfrac{6{,}626\cdot10^{-34}}{1{,}67\cdot10^{-27}\cdot200} = 1{,}98\cdot10^{-9}\ \text{m}$

$\textbf{c) El neutrón es acelerado hasta que alcanza una velocidad de } \boldsymbol{0{,}6\,c}\textbf{. ¿Cuánto ha variado su masa?}$

A esa velocidad hay que usar la mecánica relativista. El factor de Lorentz vale:

$\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 0{,}6^2}} = \dfrac{1}{0{,}8} = 1{,}25$

La masa relativista es:

$m = \gamma\,m_n = 1{,}25\cdot1{,}67\cdot10^{-27} = 2{,}09\cdot10^{-27}\ \text{kg}$

Y la variación pedida:

$\Delta m = m - m_n = (\gamma - 1)\,m_n = 0{,}25\cdot1{,}67\cdot10^{-27} = 4{,}19\cdot10^{-28}\ \text{kg}$

La masa del neutrón aumenta un $25\%$ al moverse al $60\%$ de la velocidad de la luz.