Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

Calcule la velocidad con la que ha de ser lanzado un cuerpo de masa $m$ para colocarlo en órbita circular alrededor de la Tierra, de radio igual a cuatro veces el radio de la Tierra.

Datos: $M_T = 5{,}98\cdot10^{24}\ \text{kg}$; $R_T = 6370\ \text{km}$; $G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}$.

El problema tiene dos fases: i) obtener la velocidad que debe llevar el cuerpo una vez en la órbita, y ii) imponer la conservación de la energía mecánica entre la superficie y la órbita para hallar la velocidad de lanzamiento.

i) En la órbita, la fuerza gravitatoria es la centrípeta:

$G\dfrac{M_T\,m}{r^2} = \dfrac{m\,v_{\text{orb}}^2}{r} \;\Rightarrow\; v_{\text{orb}}^2 = \dfrac{G\,M_T}{r}$





Con $r = 4R_T$:

$v_{\text{orb}}^2 = \dfrac{G\,M_T}{4R_T}$

ii) Como el campo gravitatorio es conservativo:

$\dfrac12\,m\,v^2 - G\dfrac{M_T\,m}{R_T} = \dfrac12\,m\,v_{\text{orb}}^2 - G\dfrac{M_T\,m}{4R_T}$

Sustituyendo $v_{\text{orb}}^2$ y simplificando la masa del cuerpo:

$\dfrac12\,v^2 = \dfrac{G\,M_T}{R_T} - \dfrac{G\,M_T}{4R_T} + \dfrac{G\,M_T}{8R_T} = \dfrac{7}{8}\,\dfrac{G\,M_T}{R_T}$

$v = \sqrt{\dfrac{7\,G\,M_T}{4\,R_T}}$

La velocidad de lanzamiento no depende de la masa $m$ del cuerpo. Sustituyendo, con $R_T = 6{,}37\cdot10^{6}\ \text{m}$:

$v = \sqrt{\dfrac{7\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}}{4\cdot6{,}37\cdot10^{6}}} = 1{,}05\cdot10^{4}\ \text{m/s}$

Hay que lanzarlo a $10{,}5\ \text{km/s}$, algo menos que la velocidad de escape terrestre, que vale $11{,}2\ \text{km/s}$.