Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2024

Se aceleran electrones, inicialmente en reposo, mediante una diferencia de potencial de $1600\ \text{V}$. Los electrones, una vez acelerados, penetran con una velocidad $\vec{v} = v\,\vec{i}$ ($v > 0$) en una región del espacio en la que hay definido un campo magnético uniforme $\vec{B} = B\,\vec{k}$ ($B > 0$). Calcule:

a) El módulo de la velocidad con la que entran los electrones en la región en la que está definido el campo magnético $\vec{B}$.

b) El módulo de la intensidad del campo magnético que hace que los electrones describan órbitas circulares de $0{,}4\ \text{m}$ de radio.

c) La velocidad angular de los electrones y el tiempo que tardan en recorrer $1/4$ de circunferencia.

Datos: $m_e = 9{,}11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$; $q_e = -1{,}60\cdot10^{-19}\ \text{C}$.

$\textbf{a) El módulo de la velocidad con la que entran los electrones en la región en la que está definido el campo magnético } \boldsymbol{\vec B}\textbf{.}$

El trabajo que realiza el campo eléctrico acelerador se invierte íntegramente en energía cinética, porque los electrones parten del reposo:

$|q_e|\,\Delta V = \dfrac12\,m_e\,v^2 \;\Rightarrow\; v = \sqrt{\dfrac{2\,|q_e|\,\Delta V}{m_e}}$

$v = \sqrt{\dfrac{2\cdot1{,}60\cdot10^{-19}\cdot1600}{9{,}11\cdot10^{-31}}} = 2{,}37\cdot10^{7}\ \text{m/s}$

$\textbf{b) El módulo de la intensidad del campo magnético que hace que los electrones describan órbitas circulares de } \boldsymbol{0{,}4\ \text{m}}\textbf{ de radio.}$










La velocidad es perpendicular al campo, así que la fuerza magnética es perpendicular a la velocidad en todo instante y hace de fuerza centrípeta:

$|q_e|\,v\,B = \dfrac{m_e\,v^2}{r} \;\Rightarrow\; B = \dfrac{m_e\,v}{|q_e|\,r}$





$B = \dfrac{9{,}11\cdot10^{-31}\cdot2{,}37\cdot10^{7}}{1{,}60\cdot10^{-19}\cdot0{,}4} = 3{,}37\cdot10^{-4}\ \text{T}$

$\textbf{c) La velocidad angular de los electrones y el tiempo que tardan en recorrer } \boldsymbol{1/4}\textbf{ de circunferencia.}$

En un movimiento circular uniforme la velocidad angular es:

$\omega = \dfrac{v}{r} = \dfrac{2{,}37\cdot10^{7}}{0{,}4} = 5{,}93\cdot10^{7}\ \text{rad/s}$

El periodo de la órbita:

$T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{5{,}93\cdot10^{7}} = 1{,}06\cdot10^{-7}\ \text{s}$

Y un cuarto de circunferencia es la cuarta parte del periodo:

$t = \dfrac{T}{4} = \dfrac{1{,}06\cdot10^{-7}}{4} = 2{,}65\cdot10^{-8}\ \text{s}$

Obsérvese que ni el periodo ni la velocidad angular dependen de la velocidad del electrón: solo de su relación carga-masa y del campo aplicado.