Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2024

La masa de los núcleos ${}^{12}_{6}\text{C}$ y ${}^{14}_{6}\text{C}$ es de $12{,}0000\ \text{u}$ y $14{,}0032\ \text{u}$ respectivamente. Calcule para ambos núcleos, en unidades del Sistema Internacional:

a) El defecto de masa.

b) La energía de enlace.

c) La energía de enlace por nucleón.

Datos: $m_p = 1{,}0073\ \text{u}$; $m_n = 1{,}0087\ \text{u}$; $1\ \text{u} = 1{,}6605\cdot10^{-27}\ \text{kg}$; $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

$\textbf{a) El defecto de masa.}$

El defecto de masa es la diferencia entre la masa de los nucleones por separado y la masa del núcleo ya formado:

$\Delta m = Z\,m_p + N\,m_n - m_{\text{núcleo}}$

Para el ${}^{12}_{6}\text{C}$, con $Z = 6$ protones y $N = 6$ neutrones:

$\Delta m = 6\cdot1{,}0073 + 6\cdot1{,}0087 - 12{,}0000 = 0{,}0960\ \text{u}$

$\Delta m = 0{,}0960\cdot1{,}6605\cdot10^{-27} = 1{,}59\cdot10^{-28}\ \text{kg}$

Para el ${}^{14}_{6}\text{C}$, con $Z = 6$ protones y $N = 8$ neutrones:

$\Delta m = 6\cdot1{,}0073 + 8\cdot1{,}0087 - 14{,}0032 = 0{,}1102\ \text{u}$

$\Delta m = 0{,}1102\cdot1{,}6605\cdot10^{-27} = 1{,}83\cdot10^{-28}\ \text{kg}$

$\textbf{b) La energía de enlace.}$

La energía de enlace es la que corresponde a ese defecto de masa según la equivalencia de Einstein:

$E_e = \Delta m\,c^2$

Para el ${}^{12}_{6}\text{C}$:

$E_e = 1{,}59\cdot10^{-28}\cdot(3\cdot10^{8})^2 = 1{,}43\cdot10^{-11}\ \text{J}$

Para el ${}^{14}_{6}\text{C}$:

$E_e = 1{,}83\cdot10^{-28}\cdot(3\cdot10^{8})^2 = 1{,}65\cdot10^{-11}\ \text{J}$

$\textbf{c) La energía de enlace por nucleón.}$

Se divide la energía de enlace entre el número másico:

$\dfrac{E_e}{A}\Big|_{{}^{12}\text{C}} = \dfrac{1{,}43\cdot10^{-11}}{12} = 1{,}20\cdot10^{-12}\ \text{J/nucleón}$

$\dfrac{E_e}{A}\Big|_{{}^{14}\text{C}} = \dfrac{1{,}65\cdot10^{-11}}{14} = 1{,}18\cdot10^{-12}\ \text{J/nucleón}$

Aunque el carbono-14 tiene mayor energía de enlace total, su energía de enlace por nucleón es algo menor que la del carbono-12, y por eso es el isótopo inestable de los dos.